第6章 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 (一)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 1．侧面积的概念 把柱、锥、台的侧面沿着它们的 或 剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积 一条侧棱 母线 (1)表面积：一个几何体的表面积是指几何体所有面的面积的和，也可以理解成几何体的侧面积与其底面积的面积之和，也称为全面积． (2)圆柱、圆锥、圆台侧面积公式间的关系 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和． (　　) (2)圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长．(　　) (3)几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定． (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．圆柱的母线长为5 cm，底面半径为2 cm，则圆柱的侧面积为 (　　) A．20π cm2 B．10π cm2　C．28π cm2　D．14π cm2 解析：圆柱的母线长为5 cm，底面半径为2 cm，则圆柱的侧面积为S侧＝2π×2×5＝20π(cm2)． 答案：A　 3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　) A．72 B．42π C．67π D．72π 解析：S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π. 答案：C　 (二)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 (1)对于直棱柱，其侧面积可以用公式计算，也可以将其每一个侧面的面积分别计算，然后相加． (2)对于正棱锥和正棱台，其侧面积可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算，因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形． (3)棱锥、棱台的“斜高”与“高”：斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高，正棱锥、正棱台的高是几何体的高． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)斜三棱柱的侧面积也可用cl求解，其中c为底面周长，l为侧棱长． (　　) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． (　　) (3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图不一定相同，但展开图的面积相等． (　　) (4)将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体的侧面积为4π. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．棱长为3的正方体的表面积为 (　　) A．27　　　　　　　　　 B．64 C．54 D．36 解析：根据表面积的定义，正方体的表面共6个面，且每个面都是边长为3的正方形．所以其表面积为6×32＝54. 答案：C　 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好空间几何体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的表面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加． 运算过程中，注意厘清底面半径、母线长以及对应展开图中边长之间的关系．　　 2.如图，圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开 图的扇环的圆心角是180°. (1)求圆台母线AB的长度； (2)求圆台的表面积． 解：(1)设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20(cm)，同理可得SB＝40(cm)，AB＝SB－SA＝20(cm)． (2)S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)． [典例]　(1)正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________． (2)如图，底面为菱形的直棱柱ABCDA1B1C1D1的两个对角面 ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为________． 棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法 棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的投影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解． 也就是将其沿着某条棱“剪开”，展开成平面图形，依照平面图形计算面积的方法计算．　　 [对点训练] 1．若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为________． 2．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积． [典例]　如图，已知五边形ABCDE中，AE∥BC，AB∥CD，∠AB C＝90°，AE＝a，BC＝2a，CD＝2AB，∠CDE＝30°，在平面ABCD E内，过点C作直线l⊥CB，以l为轴将五边形ABCDE旋转一周，求所得 旋转体的表面积． 求解组合体表面积的解题思路 求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体