第6章 “4翼”检测评价(50) 球的表面积和体积（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第2册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(五十) 球的表面积和体积 (一)基础落实 1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为(　　) A.π　　　　　　　　 B.π C.π D．π 解析：选D　因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π. 2．体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．8π B．12π C．16π D．π 解析：选B　因为正方体的体积为8，则其棱长为2，体对角线长为2，因此其外接球直径为2，半径为，所以其外接球的表面积为4π×()2＝12π. 3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为(　　) A．16π B．20π C．24π D．32π 解析：选A　设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π. 4．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　) A．1倍 B．2倍 C.倍 D．倍 解析：选C　设最小球的半径为r，由三个球的半径之比为1∶2∶3，得另外两个球的半径分别为2r,3r，所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2， 所以＝. 5．已知正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为(　　) A．21π B．42π C．84π D．84 解析：选C　如图，M，N为上、下底面正三角形的中心，O为MN的中点，即外接球球心．因为正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6，所以AM＝ ＝2，OM＝3，球的半径R＝OA＝＝，则该棱柱外接球的表面积为S＝4π×()2＝84π. 6．用一平面去截球所得截面的面积为2π cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是________ cm3. 解析：用一平面去截球所得截面的面积为2π cm2，所以截面圆的半径为 cm.因为球心到该截面的距离为1 cm，所以球的半径为＝ cm，所以球的体积为π·()3＝4π(cm3)． 答案：4π 7．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则该球的体积是________ cm3，表面积是________ cm2. 解析：由于直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，所以球的半径为 ＝5(cm)，球的体积为×53＝(cm3)，表面积为4π×52＝100π(cm2)． 答案：　100π 8．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍． 解析：球的半径为R时，球的体积为V1＝πR3，表面积为S1＝4πR2.半径增加为2R后，球的体积变为V2＝π(2R)3＝πR3，表面积变为S2＝4π(2R)2＝16πR2.所以＝＝8，＝＝4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍． 答案：8　4 9．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积． 解：长方体的体对角线是长方体外接球的直径，设球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋52＝50，可得R2＝，所以球的表面积为4πR2＝50π. 10.一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1 m，高为2 m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是多少？体积为多少？ 解：圆锥的母线长为＝ m，则该组合体的表面积为×(4π×12)＋π×1×＝2π＋π(m2)，该组合体的体积为×＋×π×12×2＝(m3)． (二)综合应用 1．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为(　　) A．16π B．32π C．36π D．48π 解析：选C　设球的半径为R，圆锥的底面半径为r，因为球心到截面的距离为1，所以有r2＝R2－1，由题意得，圆锥的体积V＝×1×(R2－1)π＝，可得R2＝9，故球的表面积为4πR2＝36π. 2．已知球O的半径为8，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为4，则此矩形的最大面积为(　　) A．96 B．48 C．32 D．24 解析：选A　设矩形ABCD的中心为O1，作出轴截面如图所示．因为球O的半径为8，球心O到平面ABCD的距离为4，所以BD＝2＝2＝8，所以AB2＋AD2＝BD2＝192≥2AB·AD，所以AB·AD≤96，当且仅当AB＝AD时，取等号，所以矩形的最大面积为96. 3．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为(　　) A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1 解析：选C　设正三棱柱底面