“四翼”检测评价(二十) 函数的极值(Word练习)-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(二十) 函数的极值 (一)基础落实 1．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的(　 ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　f′(x)＝0，但f′(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时，f(x)在零点处无极值，但f(x)有极值，则f′(x)在极值点处一定等于0.所以“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件． 2.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　 ) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 解析：选C　f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． 3．函数f(x)＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(　 ) A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11 C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 解析：选C　因为f(x)＝x3－3x2－9x，所以f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)．令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 当x∈(－2,2)时，f(x)在(－2，－1)上是增函数，在(－1, 2)上是减函数，故f(x)在(－2, 2)内有极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，而无极小值，故选C. 4．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(　 ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析：选A　∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且3－3b2＝0，∴或∴ad＝2. 5．若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是(　 ) A. B． C. D．(0,1) 解析：选B　由y＝ex－2mx，得y′＝ex－2m. 因为函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，所以ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ex有小于零的实根，∵x＜0，∴0＜ex＜，∴0＜m＜. 6．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________． ①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值． 解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.利用极值的求法可求得x＝0是极大值点，x＝2是极小值点． 答案：③④ 7.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________． 解析：依题意f′(x)＝3ax2＋2bx. 由题图可知，当x<0时，f′(x)<0，当0<x<2时，f′(x)>0，故当x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝c. 答案：c 8．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2，函数y＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2. 答案：(－2,2) 9．设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列． (1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若d＝3，求f(x)的极值． 解：(1)由已知可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1. 又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0. (2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t－9)x－t＋9t2. 故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t－9. 令f′(x)＝0，解得x＝t2－或x＝t2＋. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (－∞，t2－) t2－ (t2－，t2＋) t2＋ (t2＋，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小