秘籍04 函数的应用（10大考点）-备战2023年高考数学抢分秘籍（全国通用）

秘籍04 函数的应用（10大考点） 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 必考 1.识图 对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系. 2.用图 借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等. 3.转化思想在函数零点问题中的应用 方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题. 4.判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断. (2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断. (3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断. 5.解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下： 一．函数的零点（共4小题） 1．（2023•北京模拟）的零点为 　 　． 【分析】利用方程的根求解函数的零点即可． 【解答】解：当x≤0时，x+1＝0，解得x＝﹣1； x＞0时，x2﹣4＝0，解得x＝2， 函数的零点为：﹣1，2． 故答案为：﹣1，2． 【点评】本题考查函数的零点的求法，是基础题． 2．（2023•毕节市模拟）给出下列命题： ①函数f（x）＝2x﹣x2恰有两个零点； ②若函数在（0，+∞）上的最小值为4，则a＝4； ③若函数f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝4，则； ④若关于x的方程2|x|﹣m＝0有解，则实数m的取值范围是（0，1]． 其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 【分析】根据函数的基本性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【解答】解：对于①：当x＞0时，f（x）＝2x﹣x2有2个零点，2和4， 作出y＝x2和y＝2x的图像，当x＜0时，函数f（x）＝2x﹣x2有1个零点， ∴函数f（x）＝2x﹣x2有3个零点， 故①错误； 对于②：，即，则a＝4，故②正确； 对于③：①，②， ∵f（x）+f（1﹣x）＝4， ∴，，…，， ∴①+②＝4×9＝36， ∴，故③正确； 对于④：若关于x的方程2|x|﹣m＝0有解，则m＝2|x|， ∵|x|≥0，∴m≥1，故④错误， 故选：D． 【点评】本题考查命题的真假判断和函数的基本性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 3．（2023•汉中模拟）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlogax﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（　　） A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．[5，+∞） D．（5，+∞） 【分析】函数的零点即方程的解，将其转化为图象交点问题，又由函数图象特点，得到交点的对称问题，从而求解 【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlogax﹣1的零点（其中a＞1）， 可知 x1 是方程 的解；x2 是方程 的解； 则x1，x2 分别为函数 的图象与函数y＝y＝ax 和函数y＝logax 的图象交点的横坐标； 设交点分别为A（x1，），B（x2，） 由 a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1； 又因为y＝ax 和y＝logax 以及 的图象均关于直线y＝x 对称， 所以两交点一定关于y＝x 对称， 由于点A（x1，），关于直线 y＝x的对称点坐标为（，x1）， 所以， 有x1x2＝1， 而x1≠x2 则x1+4x2＝x1+x2+3x2≥＞2+3＝5 即x1+4x2∈（5，+∞） 故选：D． 【点评】本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数． 4．（2023•洪山区校级模拟）在数列{an}中给定a1，且函数f（x）＝的导函数有唯一零点，函数g（x）＝12x+且g（a1）+g（a2）+⋯+g（a9）＝18，则a5＝（　　） A． B． C． D． 【分析】求导利用函数零点定义即可求得a2﹣a1＝2，得到数列{an}是公差为2的等差数列．再利用引入辅助角公式对g（x）化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合题意进而求解即可． 【解答】解：因为f'（x）＝x2﹣an+1cosx+（an+2）有唯一的零点，f'（x）为偶函数， 则f'（0）＝0，可得an+1﹣an＝2，n∈N*，所以数列{an}为等差数列． 则a2﹣a1＝2