专题3.2 导数在函数单调性、极值中的应用-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

3.2 导数在函数单调性、极值中的应用 思维导图 知识点总结 利用导数解决单调性问题 本考点以考查导数的运算以及导函数值与函数单调性之间的关系为主，其中含有参数的函数的单调性问题是高考的热点． 1．函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系 (1)在某个区间(a，b)上，如果 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增； (2)在某个区间(a，b)上，如果 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减． 2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1)在区间(a，b)内，f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件． 利用导数解决极值与最值问题 1．函数的极值与导数 2．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的 ； ②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 典型例题分析 考向一 求函数的单调区间(不含参数) 例1　函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞) 答案　D 解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.所以单调递增区间为(2，＋∞). 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 考向二 　讨论含参函数的单调性 例2　已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间． 解　由已知得f′(x)＝a＋＝(x>0)， ①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). ②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－.在区间上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 1．(1)研究含参数的函数单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 2．个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数． 考向三 　　函数单调性的简单应用 例3　(多选)定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(　　) A．f＞f B．f＞f C．f＞f D．f＞f 答案　CD 解析　构造函数g(x)＝.则g′(x)＝＜0，即函数g(x)在上单调递减，所以g＞g，所以f＞f，同理，g＞g，即f＞f.故选CD. 以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 考向四 利用导数解决函数的极值问题 例4　如图所示是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象，给出下列四个结论： ①f(x)在区间(－3，1)上是增函数； ②f(x)在区间(2，4)上是减函数，在区间(－1，2)上是增函数； ③1是f(x)的极大值点； ④－1是f(x)的极小值点． 其中正确的结论是(　　) A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④ 答案　D 解析　由题意，得－3＜x＜－1或2＜x＜4时，f′(x)＜0；－1＜x＜2或x＞4时，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在(－3，－1)和(2，4)上单调递减，在(－1，2)和(4，＋∞)上单调递增，－1是f(x)的极小值点，2是f(x)的极大值点，故②④正确． 函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)已知导函数图象