2023年中考数学备考学案　第30课时《图形的认识》之与圆有关的位置关系

第30课 与圆有关的位置关系 学习目标： 1.掌握圆的切线的性质，会运用圆的切线性质解决问题； 2.掌握圆的切线的判定定理，会运用圆的切线的判定定理解决问题． 学习过程： 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E． （1）求证：∠A＝∠ADE； （2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长． 【解析】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A． （2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°， ∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10， 在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62， 在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102， 解得x＝，∴BC＝． 同质训练： 如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A． （1）求证：∠ABG＝2∠C； （2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径． 【解析】（1）证明：连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，∵BF⊥GE，∴OE∥AB， ∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A+∠C， ∴∠ABG＝2∠C； （2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝，GB＝6，∴BF＝3， ∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴，∴，∴OE＝6， ∴⊙O的半径为6． 例2. 如图，直线l与⊙相离，于点，与⊙相交于点，，点是直线l上一点，连结并延长交⊙于另一点，且. （1）求证：是⊙的切线； （2）若⊙的半径为，求线段的长. 【解析】 证明：(1)如图，连结，则，， ，，而，即， ，即， ， ，故是⊙的切线； (2)由(1)知：，而，，由勾股定理，得：， 过作于，则，在和中， ，，∽， ，又，，， ，. 同质训练： 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D在AB上，DE⊥AB于点D，DE交BC于F，且EF＝EC． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长． 【解析】（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°， ∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝6， ∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝． 二．自主小结： 三．适度作业： A层： 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若CE＝2，求⊙D的半径． 【解析】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AC是⊙D的切线； （2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°， ∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝，∴⊙D的半径AD＝． 2.已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1) 如图1，求∠T和∠CDB的大小； (2) 如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的大小． 图1 图2 【解析】 (1) 如图①，连接AC.∵ AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴ AT⊥AB.∴ ∠TAB＝90°.∵ ∠ABT＝50°，∴ ∠T＝90°－∠ABT＝40°.∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°.∴ ∠CAB＝90°－∠ABC＝40°.∴ ∠CDB＝∠CAB＝40°　(2)