2023年中考数学备考　第28课时特殊四边形综合问题（中档题）

第28课时 特殊四边形综合问题（中档题） 一、问题唤醒 1．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝　　． 2．如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　8　． 3．如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于 　4　． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P为AB上一动点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，则DE的最小值为 　2　． 二、问题导学 例1.如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将△BCE 沿 BE折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FG∥CD 交 BE 于点 G，连接 CG． （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若 AB＝6，AD＝10，求四边形 CEFG 的面积． 【解析】（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形； （2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵∠FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝，∴CE＝，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝． 同质训练： 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO， 在△DMO和△BNO中， ， ∴△DMO≌△BNO（ASA）， ∴OM＝ON， ∵OB＝OD， ∴四边形BMDN是平行四边形， ∵MN⊥BD， ∴平行四边形BMDN是菱形． （2）解：∵四边形BMDN是菱形， ∴MB＝MD， 设MD长为x，则MB＝DM＝x， 在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2， 即x2＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝5， 即MD＝5． 菱形BMDN的面积＝MD•AB＝5×4＝20， ∵BD＝， ∵菱形BMDN的面积＝BD•MN＝20， ∴MN＝2×＝2． 例2．如图，在▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形． （2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空： ①当AE＝　6　时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝　4　时，四边形CEDF是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEG＝∠CFG， ∵G是CD的中点， ∴DG＝CG， 在△DEG和△CFG中， ， ∴△DEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG， ∵DG＝CG， ∴四边形CEDF是平行四边形； （2）解：①当AE＝6时，四边形CEDF是矩形，理由如下： 过A作AM⊥BC于M，如图所示： ∵BC＝2AB＝8， ∴AB＝4， ∵∠B＝60°， ∴∠BAM＝90°﹣60°＝30°， ∴BM＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CDE＝∠B＝60°，CD＝AB＝4，BC＝AD＝8， ∵AE＝6， ∴DE＝2＝BM， 在△MBA和△EDC中， ， ∴△MBA≌△EDC（SAS）， ∴∠CED＝∠AMB＝90°， ∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是矩形， 故答案为：6； ②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由如下： ∵AD＝8，AE＝4， ∴DE＝4， ∵CD＝4，∠CDE＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴CE＝DE， ∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是菱形， 故答案为：4． 同质训练： 如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长交AB延长线于点E，连接BD，EC． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠A＝40°． ①当∠ADE＝　 　°时，四边形BECD是矩形； ②当∠ADE＝　 　°时，四边形BECD是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∴∠OEB＝∠ODC， 又∵O为BC的中点， ∴BO＝CO，