专题12 圆锥曲线中的探究（存在）性问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题12 圆锥曲线中的探究（存在）性问题 圆锥曲线中探究（存在）性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索（存在）性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神. 圆锥曲线中探索问题的求解策略 1）此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论． 2）求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 题型1 探究点线关系问题 例1．（2023·山东·沂水县校联考模拟预测）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点．(1)求的取值范围；(2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)的内心恒在一条定直线上，该直线为 【分析】（1）联立方程，根据题意结合韦达定理列式求解； （2）根据（1）中的韦达定理证明，即可得结果. 【详解】（1）设，联立方程，消去y得：， 由题意可得，解得，故的取值范围为. （2）内心恒在一条定直线上，该直线为， ∵，即点在椭圆上， 若直线过点，则，解得， 即直线不过点，故直线的斜率存在， 由（1）可得：， 设直线的斜率分别为，则， ∵ ， 即，则的角平分线为，故的内心恒在直线上. 【点睛】存在性问题求解的思路及策略：(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 例2．（2023春·湖南·高三统考阶段练习）已知椭圆E：的离心率为，A，B是它的左、右顶点，过点的动直线l（不与x轴重合）与E相交于M，N两点，的最大面积为． (1)求椭圆E的方程；(2)设是直线AM与直线BN的交点．（i）证明m为定值；（ii）试堔究：点B是否一定在以MN为直径的圆内？证明你的结论． 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）点B一定在以MN为直径的圆内，证明见解析 【分析】（1）根据最大面积可得，再结合离心率及求解作答. （2）（i）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理结合三点共线的斜率关系列式求解作答；（ii）利用平面向量数量积推导为钝角作答. 【详解】（1）设椭圆E的焦距为2c，依题意，，设椭圆E上点M的纵坐标为，， 的面积，当且仅当时取等号， 因此，而，且，解得，，所以椭圆E的方程为. （2）由（1）知，，，设直线l的方程为， 而点在椭圆E内，直线l与E总相交，由得：， 设，，则，， （i）由P，A，M共线，得，由P，B，N共线，得， 联立两式得，又，即有， 因此， 所以，为定值． （ii）点B一定在以MN为直径的圆内， 由（i）知，，，即， 因为，，因此， 而2，从而，于是，为钝角， 所以点B一定在以MN为直径的圆内. 【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 例3．（2023·黑龙江哈尔滨·校考一模）已知平面内动点M到定点F（0，1）的距离和到定直线y=4的距离的比为定值．(1)求动点M的轨迹方程；(2)设动点M的轨迹为曲线C，过点的直线交曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作直线x=t的垂线，垂足分别为、，判断是否存在常数t，使得四边形的对角线交于一定点?若存在，求出常数t的值和该定点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)存在，t=3，定点为 【分析】（1）设，由题有：，化简后可得轨迹方程； （2）设过直线方程为：，将其与曲线C联立，由韦达定理可知.又由对称性可知，若定点存在，其一定在x轴上，并设定点为D.后利用向量共线可得定点坐标. 【详解】（1）设，由题有 . 即动点M的轨迹方程为：； （2）由题过直线斜率不为0，设过直线方程为：，将其与椭圆方程联立，，消去x得，. 由题其判别式大于0，设，，则，. 则由韦达定理有：，， 得.若存在常数t，使得四边形的对角线交于一定点， 由对称性知，该定点一定在x轴上，设该定点为，则，B，D共线. 又，，