专题11 圆锥曲线中的最值（范围）问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题11 圆锥曲线中的最值（范围）问题 解析几何中的最值（范围）问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的进行命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值问题.从高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力. 圆锥曲线中的最值（范围）问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法（在选填题部分已重点讲解），即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解.而解答题部分主要使用代数法。 题型1线段（距离）类的最值（范围）问题 1．（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆的两个顶点，且其离心率为． (1)求椭圆Γ的方程；(2)设过椭圆Γ的右焦点F的直线与其相交于A，B两点，若（O为坐标原点），求直线AB的方程；(3)设R为椭圆Γ上的一个异于M，N的动点，直线MR，NR分别与直线相交于点P，Q，试求|PQ|的最小值 【答案】(1)(2)(3)． 【分析】（1）利用椭圆的离心率为，焦距为4，求出几何量，即可求出椭圆的方程． （2）设直线AB的方程为，直线与椭圆联立结合可求出，即可求出直线AB的方程．（3）设，由题目条件求出，由结合均值不等式，即可求出|PQ|的最小值． 【详解】（1）由条件，解得，． 故椭圆Γ的方程为． （2）易知椭圆Γ右焦点F的坐标为，设直线AB的方程为， ，则由，得， 显然．于是，① 因为，故，即 于是② 将①代入②：，解得． 故直线AB的方程为：，即. （3）设，则． 因，故直线MR的方程为，其与直线的交点P的横坐标为； 又，故直线NR的方程为，其与直线的交点P的横坐标为． 于是，即． 故． 当且仅当，即点R坐标为或时，|PQ|取得最小值． 2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，且直线AB的斜率为，的面积为1，O为坐标原点．(1)求C的方程；(2)设直线l与C交于，两点，且，N与B不重合，M与C的上顶点不重合，点Q在线段MB上，且轴，AB平分线段QN，点到l的距离为d，求当d取最大值时直线MN的方程． 【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据已知条件列出关于的方程组求解即可； (2) 设l的方程为，Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由已知可得，结合韦达定理可得出，从而可求点到l的距离d，再通过构造函数，利用函数单调性求出d取最大值时的条件，从而可求直线MN的方程． 【详解】（1）由已知得，，，即① 又因为的面积为1，所以，即② 联立①②解得，，所以椭圆C的方程为； （2）根据题意，直线l的斜率存在，且l不过C的上、下顶点，故可设其方程为 ，设Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为， 由得，， 则，即 ，由已知直线的方程为，直线的方程为， 直线的方程为，联立，解得，即， 联立，解得，即， 因为AB平分线段QN，所以T为线段QN的中点，所以， 即，整理得， 把代入上式整理得， 因为，所以，化简得， 又由得，解得，， 设()，则()， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当时，有最大值，即d有最大值， 所以，所以直线MN的方程为． 3．（2023·宁夏·校考一模）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．(1)求的方程；(2)若过点作两条平行线分别与和交与和，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由圆的方程可确定圆心坐标，即椭圆焦点坐标，进而根据椭圆关系求得方程； （2）根据对称性将问题转化为求解椭圆截直线的弦长的最小值，利用韦达定理和弦长公式可表示出所求弦长，由此可确定最小值. 【详解】（1）由两圆的方程知：圆心分别为，，即，， ，解得：，. （2）由题意知：； ，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长， 设，其与椭圆交于点和 由得：，则 ，， ， 当时，取得最小值，的最小值为. 【点睛】关键点睛：本题考查直线截椭圆所得弦长最值的求解问题，本题求解最小值的关键是能够对转化为，再根据对称性将转化为直线截椭圆所得弦长的求解问题. 4．（2023·河南·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于，两点．若，，求的最小值（是坐标原点）． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆定义求出，再由焦点得，即可得解； （2）设出点的坐标，利用向量得坐标间关系，代入点差法所得等式，可求出，即是直线上动点，再由点到直线距离求最小值即可. 【详解】