专题13 圆锥曲线中的其他问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题13 圆锥曲线中的其他问题 通过近几年各地高考试题可以发现，对共线、对称性、切线、特殊图形、等式（不等式）恒成立等问题的考查在逐渐加深、并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向。与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题. 题型1 共线问题 1．（2023·上海崇明·统考二模）已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点． (1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；(2)若，求的面积； (3)设直线与直线交于点，证明：三点共线． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；（3）联立直线和椭圆方程，先表示出坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算. 【详解】（1）依题意，，解得（负数舍去）. （2）的直线经过，则直线方程为：；，则椭圆的方程为：. 设联立直线和椭圆方程：，消去得到， 解得，则，故，于是. 依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：. 故 （3）设联立直线和椭圆方程：，得到，由，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等： ，而，，，于是上式变为：. 由韦达定理，，于是， 故，命题得证. 2．（2023·云南曲靖·校考模拟预测）已知曲线，其离心率为，焦点在轴上． (1)求的值；(2)若与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点，，直线与直线交于点．求证：当时，，，三点共线． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据曲线的离心率可知曲线表示椭圆，从而确定，，结合离心率求得答案； （2）设点．的坐标，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，表示直线的方程，求得点坐标，从而表示出直线和直线的斜率，然后结合根与系数的关系式，化简，证明二者相等，即可证明结论． 【详解】（1）由曲线，其离心率为，焦点在轴上， 可知曲线是焦点在轴上的椭圆，则其方程可化为，所以必须满足：，解得， 因的离心率为， ，即，故， 解得，椭圆的方程为； （2）由（1）可知，椭圆的方程为， 所以，，把代入， 整理得， 设，，，， 则，， 因为点，所以直线的方程为：， 令，得，所以，， 因为点，所以直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以， 其中 当时，上式等于0，即，这说明，，三点共线，综上，t =2.. 【点睛】本题考查了根据曲线表示椭圆求参数的值，以及直线和椭圆的位置关系等问题，其中证明三点共线是难点，解答的关键是证明有公共点的两直线斜率相等，其中的计算量较大，属于难题． 3．（2023·江苏·高三专题练习）设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点． （1）求双曲线的渐近线方程；（2）若，求点纵坐标的值；（3）设直线与轴交于点关于轴的对称点为．若三点共线，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析． 【分析】（1）令求解； （2）由，和设为，则，再结合求解； （3）①当直线MN的斜率不存在时，不符合题意；②当直线的斜率存在时，设方程为，与双曲线方程联立，根据三点共线，结合韦达定理由求解； 【详解】（1）令则，∴双曲线的渐近线方程为． （2）由题意知，，设为，则，且， 又，解得，所以点M纵坐标的值为 （3）①当直线MN的斜率不存在时，其方程为与轴有无数个交点，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设为，则其方程为， 设，则， 联立，得，所以， 因为三点共线，所以，即，即， 所以，即， 所以，化简得，为定值，故命题得证． 【点睛】定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 4．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，是椭圆上关于原点对称的两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为. (1)当点与的右焦点重合时，求面积的最大值；(2)已知点在上，从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立：①三点共线；②；③. 【答案】(1)(2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，求出，得到，点到直线的距离为，，令，利用导数的性质，得到面积的最大值. （2）三点共线，可得，而，可得，整理得到 ，对于椭圆，整理得，，满足，也满足，作差得，最后得到，可由①和②，计算得到③. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，，，当点与的右焦点重合时，可得，在第一象限，，又由是椭圆上关于原点对称的两点，得到，，点到直线的距离为， 故，设，， 求导得,时