第四单元 数学模型归类一“中点”之六大模型-【名师学案】2023中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

数学模型归类一“中点”之六大模型 【”中点”模型秘诀】【解答】解：△OMN是等腰三角形，理由； 中点问题常用性质及常见辅助线作法如图，取BC的中点H，连接EH，FH。 1.多个中点或“平行＋中点”一构造中位线﹔∵E是AB的中点，H是BC的中点， 2.直角＋斜边中点一一直角三角形斜边中线的 ∴EH=^AC。且EH/AC． 性质；同理，FH=÷2BD，且FH∥BD． 3.等腰＋底边中点—→等腰三角形三线合一∵AC=BD∴HE=HF∴∠HEF=∠HFE。 ∵EH∥AC，∴∠HEF=∠ONM。 4.同一边遇垂直＋中点一→垂直平分线性质； 同理∠OMN=∠HFE。∠OMN=∠ONM， 5.中线或与中点有关线段一→倍长中线构造全等；OM=ON，即△OMN是等腰三角形。 6.圆十弦(弧)的中点_→垂径定理．对点训练] 模型一：见三角形一边中点，常考虑构造中位线1．如图，在△ABC中， A∠A=90^∘，D是AB的D．E 取另一边中点中点，过点D作BC的 D，构造中位线______E平行线交AC于点E，“F b°…_c____6__作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且 △DFE的面积为1，则BC的长为（） 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位 A.2\sqrt{5}～B.5=C.4\sqrt{5}D，10 线，利用三角形中位线的性质定理可以得到两线的位 置关系(平行)和线段的倍分关系(三角形的中位线等模型二：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构 于第三边的一半。或第三边等于中位线的二倍)造斜边中线 倒Ⅱ如图，在四边形ABCD中，AC与BD A 相交于点O，AC=BD，E，F分别是AB.CD的D构造直角三角形│ⅳD 斜边上的中线” 中点，连接EF，分别交BD，AC于点M，N，判 B____…__B 断△OMN的形状。 A在直角三角形中，当已知条件中有斜边中点时， 经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半，来证明线段间的数量关系，同时 可以得到两个等腰三角形．， 【思路点拨】取BC的中点H，连接EH，FH，根例园如图，∠ABC=A 据三角形中位线定理得到EH-÷AC，EH∥AC，∠ADC=90°．M，N分别是 AC，BD的中点，AC=10， FH=_2^BD，FH/BD，根据题意得到HE=HF根BD=8则MN为 据平行线的性质，等腰三角形的判定定理解答即可A，3B.4C.5D.6 78<I 引领学景备考新模式 YLXABKXMS 【思路点拨】连接MB,MD,利用直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半可证MB=MD,再由 NB=ND,根据等腰三角形“三线合一”性质，得MW ⊥BD,在Rt△BMN中，利用勾股定理即可求解， 模型四：遇到三角形一边上的中点（中线或与中点 【解答】A 有关的线段)，考虑倍长中线法构造全等三角形 对点训人练 模型展示 2.(中考·陕西)如图，在△ABCA 倍长中线 中，∠ABC=90°，∠C=52°，BE D 为AC边上的中线，AD平分 ∠BAC,交BC边于点D,过点 B作BF⊥AD,垂足为F,则B D 1 ∠EBF的度数为 倍长类中线 A.19° B.339 C.34° D.43 构造全等 B 模型三：等腰三角形中遇到底边上的中点，常联 0 想“三线合一”的性质 模型归纳 模型展示 题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中 线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结 论集合到同一个三角形中 连接中线 例4如图，已知在△ABC中，AD是BC 边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC 模型归纳 于点E,且AE=EF,求证：BF=AC 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线， 【思路点拨】延长FD到G,使DG=DF,连接 利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或两 CG.证明△BDF≌△CDG,得BF-CG,再证明CA 线垂直，为解题创造更多的条件. =CG便可得解。 例3如图，在△ABC中， 【解答】证明：如图，延长 AB=AC=5,BC=6,点M为 FD到G,使DG=DF,连接CG. BC的中点，MN⊥AC于点N, ,AD是BC边的中线， 则MW的长是 B .BD=CD. 【思路点拨】连接AM,根据等腰三角形三线合一 在△BDF和△CDG中， 的性质得到AM⊥BC,根据勾股定理求得AM的长，再 BD=CD, 根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长， ∠BDF=∠CDG, 【解答】2.4 DF=DG, 对点Y训练 ∴.△BDF≌△CDG(SAS), ∴.BF=CG,∠BFD=∠G 3.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD= :AE=EF,.∠EAF=∠EFA=∠BFD, AC,AE⊥CD,垂足为E,EF/BD,交BC于 ∴∠G=∠CAG,.AC=CG,∴.BF=A