专题19 分类、分步计数原理、排列组合、二项式定理-【三轮冲刺】2023年新高考数学考点查缺补漏与热点预测（新高考专用）

专题19分类、分步计数原理、排列组合、二项式定理 一、思维方法 二、查缺补漏 考点一：分类加法计数原理的应用 考点二：分步乘法计数原理的应用 考点三：两个计数原理的综合应用 考点四：排列问题 考点五：组合问题 考点六：分组、分配问题 考点七：二项式通项公式及其应用 考点八：二项式系数的和与各项系数的和 考点九：二项式系数的最值问题 考点十：二项式定理的逆用 三、真题训练 2021年真题 2022年真题 四、热点预测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 【思维方法】 1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置． (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准． (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复． (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏． 2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． 3.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． 4.在综合应用两个原理解决问题时应注意： (1)一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化． 5.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成． 6.排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 7.组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 8.平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种数乘堆数的全排列． 2．对于分堆与分配问题应注意三点：(1)处理分配问题要注意先分堆再分配； (2)被分配的元素是不同的；(3)分堆时要注意是否均匀． 9.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！. 10.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可． 11.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 12.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解． 13.三项展开式特定项： (1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解； (2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 14.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法． 15.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 16.二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn. 17.根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解． 【查缺补漏】 【考点一】分类加法计数原理的应用 【典例1】定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　) A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 【解析】第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个