第6单元 中考核心微专题15 圆中的最值问题-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

　圆中的最值问题(见学生用书P105) 　　　　　　　　　 　　　　　 　　　 1．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是(　C　) A．2 B．4 C．4 D．8 2．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是__6.5__cm或2.5__cm__． 3．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是____． 【解析】 ∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴MN＝AB， ∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB的值最大， 连结AO并延长交⊙O于点B′，连结CB′，如图． ∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°. ∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°， ∴AB′＝＝＝5， ∴MN的最大值为. 4．2022·泸州如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为__2＋1__． 【解析】 当⊙O与BC，BA都相切时，连结AO并延长交⊙O于点D，则AD的长为点A到⊙O上的点的距离的最大值， 设⊙O与BC，BA的切点分别为E，F，连结OE，OF， 则OE⊥BC，OF⊥AB， ∵AC＝6，BC＝2，∴tan ∠ABC＝＝，AB＝＝4， ∴∠ABC＝60°，∴∠OBF＝30°， ∴BF＝＝，∴AF＝AB－BF＝3， ∴OA＝＝2，∴AD＝2＋1. 1．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D并交EC的延长线于点F.则线段EF的最小值为(　A　) A. 4 B．2 C．12 D．2 2．已知P为⊙O内一点，OP＝3 cm，⊙O的半径为5 cm，则经过P点的最短弦长为__8__ cm，最长弦长为__10__ cm. 3．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为____． 4．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为__3__． 【解析】 连结CP，CQ，作CH⊥AB于H，如图．∵等边三角形ABC的边长为4， ∴AB＝CB＝4，∠BCH＝∠ACB＝×60°＝30°， ∴BH＝2，CH＝2. ∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ， 在Rt△CPQ中，PQ＝＝. ∵点P是AB边上一动点，∴当点P运动到H点时，CP最小，即CP的最小值为2，∴PQ的最小值为＝3. 1．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为(　C　) A．2 B． C． D．1 第1题图 　　　第1题答图 【解析】 如图，作点A关于MN的对称点A′，连结A′B，交MN于点P，则PA＋PB最小，连结OA′，AA′，OB. ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′. ∵点B是弧AN的中点，∴∠BON＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′ON＋∠BON＝90°. 又∵OB＝OA′＝1，∴A′B＝， ∴PA＋PB的最小值＝PA′＋PB＝A′B＝. 2．如图，A，B是半圆O上的两点，MN是直径，OB⊥MN.若AB＝4，OB＝5，P是MN上的一动点，则PA＋PB的最小值为(　C　) A． B．10 C．2 D．无法确定 第2题图 　　　第2题答图 【解析】 如图，将⊙O补全，延长BO交⊙O于点C，连结AC交MO于点P，连结BP. ∵BC⊥MN，∴BP＝CP，∴BP＋AP＝AC，根据两点之间线段最短可知所作点P即为所求．∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°.在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝10， ∴AC＝＝＝＝2. 3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是(　B　) A．3 B．4 C．5 D．6 第3题图 　　　第3题答图 【解析】 ⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC， 由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点， 如图，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1， 连结AA′交BD于点N，取NM＝1，连结AM，CM，则点M，N为所求点，∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平