第5单元 第25讲 菱形-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

第25讲　菱形 (见学生用书P84) 温馨提示：请课前或课堂“10分钟”先自主完成“中考基本功”单本内容． 例1 2022·河池如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是 (　C　) A．AB＝AD　　　　B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 变式1 (1)2022·河南如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为(　C　) A．6　 　B．12　 　C．24　 　D．48 变式1(1)题图 　　变式1(2)题图 (2)如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结BO.若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为(　B　) A．34° B．54° C．62° D．72° (3)2022·乐山已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8 cm和6 cm.则菱形的面积为__24__cm2. 例2 2022·南充如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N. 求证：(1)△ADE≌△CDF. (2)ME＝NF. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形． ∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB. ∵BE＝BF，∴AE＝CF. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(SAS). (2)由(1)知△ADE≌△CDF， ∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF. ∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM＝∠DCN. ∵∠ADM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠DNC， ∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN， ∴DE－DM＝DF－DN，∴ME＝NF. 变式2 如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别是F和E.若菱形ABCD的周长是12 cm，面积是6 cm2，则PE＋PF的值是(　C　) A．1.5 cm B．1 cm C．2 cm D．4 cm 例3 2022·舟山小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD. ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 　　若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形． 【举一反三】 判定四边形是菱形的方法有：①先证出该四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等．②只需证出四条边都相等．③先证出该四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直．在解题时，必须转化出满足上述三种方法之一所需的条件． 变式3 2022·岳阳如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连结DE，DF.请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形． (1)你添加的条件是__①或③__(填序号). (2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形． 解：(1)添加的条件是∠1＝∠2或∠3＝∠4， 故答案为①或③. (2)证明：添加①，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(AAS)， ∴AD＝CD，∴▱ABCD为菱形． 添加③，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AD＝CD， ∴▱ABCD为菱形． 例4 2022·凉山州在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证：四边形ADBF是菱形． (2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 解：(1)证明：∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE. ∵点E是AD的中点，∴AE＝DE， ∴△FAE≌△CDE(AAS)，∴AF＝CD. ∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BD＝BC， ∴四边形ADBF是菱形． (2)∵四边形ADBF是菱形， ∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积． ∵点D是BC的中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40， ∴AB·AC