第4单元 中考核心微专题8 角平分线问题的模型-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

　角平分线问题的模型(见学生用书P51) [基本模型] 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，构造相等线段、全等三角形． 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得PB＝PA，则Rt△AOP≌Rt△BOP 　　　　　　　　　 　　　　　 　　　 1．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是(　B　) A．3 B．4 C．5 D．6 第1题图 　　　第2题图 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8 cm，DF＝3 cm，则△CDB的面积为(　A　) A．12 cm2 B．8 cm2 C．6 cm2 D．4 cm2 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，E为AD的中点，EF⊥AD交AB于点F.若CD＝3，则AF＝(　C　) A．3 B．3 C．6 D．5 第3题图 　　　第3题答图 【解析】 连结DF，过D作DH⊥AB于点H，如图． ∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，∠ACB＝90°，∴DH＝DC＝3. ∵AD平分∠BAC，∠BAC＝30°，∴∠DAB＝×30°＝15°. ∵E为AD的中点，EF⊥AD，∴AF＝DF， ∴∠FDA＝∠FAD＝15°，∴∠DFH＝15°＋15°＝30°. 在Rt△DFH中，DF＝2DH＝6，∴AF＝6. 4．如图，点D是△ABC外的一点，BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF，连结AD交BC于点O.下列结论中一定成立的是(　D　) A．DB＝DC B．OA＝OD C．∠BDA＝∠CDA D．∠BAD＝∠CAD 第4题图 　　　第4题答图 【解析】 过D点作DM⊥AE于M，DN⊥AF于N，DH⊥BC于H，如图， ∵BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF， ∴DH＝DM，DH＝DN， ∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. 5．2022·北京如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝__1__． [基本模型] 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交构造等腰三角形，利用“三线合一”解题． 如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，则Rt△AOP≌Rt△BOP，△AOB是等腰三角形 1.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝6，BC＝4，则BD的长为(　A　) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 第1题图 　　　第2题图 2．如图，AE垂直于∠ABC的平分线于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为1，则△CDE的面积是(　B　) A． B． C． D． 【解析】 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD. ∵AE⊥BD，∴∠ADB＝∠EDB. 在△ADB和△EDB中，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB，∴△ADB≌△EDB， ∴AD＝ED.∵CE＝BC，△ABC的面积为1， ∴△AEC的面积为. 又∵AD＝ED，∴S△CDE＝S△AEC＝. 3．如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D.求证：ED平分∠AEB. 证明：如图，延长AD交BC于F， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠DFE＝∠B＋∠BAD，∠DAE＝∠EAC＋∠CAD，∠B＝∠EAC， ∴∠DFE＝∠DAE，∴AE＝FE. ∵ED⊥AD，∴ED平分∠AEB. 4．如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC的一个外角，且AE⊥BE于点E. (1)求证：EF∥BC. (2)若BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的长． 解：(1)证明：如图，延长AF交BC于M，延长AE交CB的延长线于N， ∵AF⊥CF，∴∠AFC＝∠MFC＝90°. ∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠MCF， 在△ACF和△MCF中， ∴△ACF≌△MCF(ASA)，∴AF＝MF. 同理AE＝NE，∴EF∥MN，∴EF∥BC. (2)∵AF＝MF，AE＝NE，∴MN＝2EF＝2×4＝8. ∵AC＝4，∴CM＝AC＝4，∴CN＝MN＋CM＝12. ∵BC＝5，∴AB＝BN＝CN－BC＝7. [基本模型] 如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，