第4单元 第22讲 锐角三角函数的应用-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

第22讲　锐角三角函数的应用 (见学生用书P76) 温馨提示：请课前或课堂“10分钟”先自主完成“中考基本功”单本内容． 例1 某数学小组为了测量某楼高度进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算这个楼AD的高度．(结果保留整数，≈1.41，≈1.73) 解：由题意可得，在Rt△ABE中， ∵AB＝120米，∠ABE＝60°， ∴BE＝AB＝×120＝60(米)， AE＝sin 60°·AB＝×120＝60(米). 在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE＋CB＝60＋30＝90(米)， ∴DE＝tan 30°·CE＝×90＝30(米)， ∴AD＝AE－DE＝60－30＝30≈52(米). 答：这个楼AD的高度约为52米． 变式1 2022·铜仁市为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C，D两处实地测量，如图．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C，D两点之间的距离为80 m，直线AB，CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．(结果保留整数，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，≈1.73) 解：延长DC交AB于点E，则DE⊥AB， 设CE＝x米，在Rt△AEC中，∠ACE＝60°， ∴AE＝EC·tan 60°＝x(米). 在Rt△BEC中，∠BCE＝40°， ∴BE＝EC·tan 40°＝0.84x(米). 在Rt△AED中，∠D＝30°， ∴DE＝＝＝3x(米). ∵CD＝80米，∴DE－CE＝CD，∴3x－x＝80， ∴x＝40，∴AB＝AE＋BE≈40×(1.73＋0.84)＝102.8≈103(米)，∴桥墩AB的高度约为103米． 例2 2022·营口在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3∶4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求大楼MN的高度．(图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan 22°≈0.4，tan 58°≈1.6) 解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D， 则BE＝DN，DB＝NE， ∵斜坡AB的坡度i＝3∶4， ∴＝，∴设BE＝3a米，则AE＝4a米， 在Rt△ABE中，AB＝ ＝＝5a(米)， ∵AB＝75米，∴5a＝75，∴a＝15， ∴DN＝BE＝45米，AE＝60米， 设NA＝x米，∴BD＝NE＝AN＋AE＝(x＋60)米，在Rt△ANM中，∠NAM＝58°， ∴MN＝AN·tan 58°≈1.6x(米)， ∴DM＝MN－DN＝(1.6x－45)米， 在Rt△MDB中，∠MBD＝22°， ∴tan 22°＝＝≈0.4， 解得x＝57.5，经检验，x＝57.5是原方程的根， ∴MN＝1.6x＝92(米)，∴大楼MN的高度约为92米． 变式2 2022·黑龙江小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为(　B　) A．(600－250)米　B．(600－250)米 C．(350＋350)米 D．500米 解：设EF＝5x米， ∵斜坡BE的坡度为5∶12， ∴BF＝12x米， 由勾股定理，得(5x)2＋(12x)2＝1 3002， 解得x＝100，则EF＝500米，BF＝1 200米， 由题意可知，四边形DCFE为矩形， ∴DC＝EF＝500米，DE＝CF. 在Rt△ADE中，tan ∠AED＝， 则DE＝＝AD， 在Rt△ACB中，tan ∠ABC＝， ∴＝，解得AD＝600－750， ∴山高AC＝AD＋DC＝600－750＋500＝(600－250)米． 例3 小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点，测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2 km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．(结果精确到0.1 km.参考数据：≈1.732) 解：过点A作AM∥BD，过点B作BM⊥BD，AM与BM交于点M， ∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向， ∴∠NAC＝75°， ∴∠CAM＝15°. ∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点， ∴∠MAB＝45°，∴∠MBA＝45°. ∵C点在B点的北偏