第4单元 第21讲 锐角三角函数-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

第21讲　锐角三角函数 (见学生用书P74) 温馨提示：请课前或课堂“10分钟”先自主完成“中考基本功”单本内容． 例1 (1)如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连结AC，OC.若sin ∠BAC＝，则tan ∠BOC＝____． (2)2022·湖州如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3.求AC的长和sin A的值． 解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， sin A＝＝. 变式1 (1)2022·贵港如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos ∠BAC的值是(　C　) A．　　B．　　C．　　D． (2)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为(　A　) A. ＋1 B．sin2α＋1 C．＋1 D．cos2α＋1 例2(1)已知α，β均为锐角，且满足＋＝0，则α＋β＝__75°__． (2)计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°. 解：3－ 变式2 (1)tan 30°的值等于(　A　) A． B． C．1 D．2 (2)已知cos α＝，且α是锐角，则α＝(　A　) A．30° B．45° C．60° D．90° 例3 2022·齐齐哈尔在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝__3＋3或3－3__． 【解析】 ①当△ABC为锐角三角形时， 过点A作AD⊥BC于点D，如图1， 图1 ∵AB＝3，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝AB·sin 45°＝3， ∴CD＝＝3， ∴BC＝BD＋CD＝3＋3； ②当△ABC为钝角三角形时， 过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图2， 图2 ∵AB＝3，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝AB·sin 45°＝3， ∴CD＝＝3， ∴BC＝BD－CD＝3－3. 综上，BC的长为3＋3或3－3. 【举一反三】 在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是构造直角三角形． 变式3 2022·陕西如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为(　D　) A．3 B．3 C．3 D．6 变式3题图 　　例4题图 例4 2022·乐山如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD.若tan ∠A＝，tan ∠ABD＝，则CD的长为(　C　) A．2 B．3 C． D．2 【解析】 过点D作DE⊥AB于E， ∵tan ∠A＝＝， tan ∠ABD＝＝， ∴AE＝2DE，BE＝3DE， ∴2DE＋3DE＝5DE＝AB， 在Rt△ABC中，tan ∠A＝，BC＝， ∴＝＝，解得AC＝2， ∴AB＝＝5，∴DE＝1，∴AE＝2， ∴AD＝＝＝， ∴CD＝AC－AD＝. 变式4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝.D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E. (1)求线段CE的长． (2)求sin ∠BDE的值． 解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝， ∴＝，∴AB＝10， ∴BC＝＝8.又∵D为AB的中点， ∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，∴∠DCB＝∠B， ∴cos ∠DCB＝，cos B＝，∴＝， ∴CE＝. (2)如图，作EF⊥AB，交AB于F，由(1)知CE＝， 则BE＝8－＝，DE＝＝， 设BF＝x，则DF＝BD－BF＝5－x， 在Rt△DEF中， EF2＝DE2－DF2＝－(5－x)2， 在Rt△BEF中，EF2＝BE2－BF2＝－x2， ∴－(5－x)2＝－x2，解得x＝， ∴EF2＝－＝，EF＝， ∴sin ∠BDE＝＝. 例5 2022·张家界阅读下列材料： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：＝. 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则 在Rt△BCD中，CD＝a sin B， 在Rt△ACD中，CD＝b sin A， ∴a sin B＝b sin A，∴＝. 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：＝. (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°