第4单元 第20讲 相似三角形(2)-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

第20讲　相似三角形(2) (见学生用书P68) [相似三角形的定义、性质、判定与应用] 温馨提示：请课前或课堂“10分钟”先自主完成“中考基本功”单本内容． 例1 (1)如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝(　B　) A．2　 　B．2　 　C．2　 　D．4 例1(1)题图 　　例2(2)题图 (2)如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是(　B　) A．150° B．147° C．135° D．120° (3)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是(　C　) A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9 (4)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是(　D　) A．20 B．22 C．24 D．26 变式1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E，△ABC∽△EDA. (1)求∠ABC的度数． (2)求的值． 解：(1)∵AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BAC， ∵∠C＝90°， ∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠BAC)＝×90°＝45°， ∴∠3＝∠1＋∠2＝45°. ∵△ABC∽△EDA，∴∠ABC＝∠3＝45°. (2)过A作AF⊥DE于点F，∵∠3＝45°，AE⊥AD，∴△ADE是等腰直角三角形， 设AF＝a，则DE＝2a，DF＝a， 在Rt△ADF中，AD＝a， ∵2∠1＝2∠2＝45°，∴∠1＝∠2. ∴AD＝BD＝a，∴BF＝a＋a. 在Rt△ABF中，AB2＝AF2＋BF2＝a2＋(a＋a)2＝(4＋2)a2， ∵△ABC∽△EDA， ∴＝＝＝. 例2 (1)如图，在△ABC中，点P在边AB上，则下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB，其中，不能判定△APC与△ACB相似的是(　D　) A．① B．② C．③ D．④ 例2(1)题图 　　例2(2)题图 (2)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(　B　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【举一反三】 判定三角形相似的基本思路有： (1)看是否有平行截线；(2)若有一对等角，找另一对等角或者该角的两边成比例；(3)若有两边成比例，则找它们的夹角或第三边也成比例． 变式2 (1)已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是(　C　) A．∠APB＝∠EPC B．∠APE＝90° C．P是BC的中点 D．BP∶BC＝2∶3 变式2(1)题图 　　变式2(2)题图 (2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，AF⊥CD于点E，交BC边于点F，连结DF，则图中与△ACE相似的三角形共有(　B　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例3 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°. (1)证明：AC2＝AB·AD. (2)点E在边AB上，连结DE，CE，DE交AC于点F，若△AFD∽△CFE.证明：点E为AB的中点． 证明：(1)∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB. ∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB， ∴＝，∴AC2＝AB·AD. (2)∵△AFD∽△CFE.∴＝， ∴AD∥CE，∴∠DAC＝∠ACE， ∵∠DAC＝∠CAB，∴∠CAB＝∠ACE， ∴AE＝CE. ∵∠CAB＋∠B＝∠ACE＋∠BCE＝90°， ∴∠BCE＝∠B， ∴BE＝CE，∴AE＝BE，∴点E为AB的中点． 变式3 (1)2022·台湾△ABC的边上有D，E，F三点，各点位置如下图所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，则根据图中标示的长度，可得四边形ADEF与△ABC的面积比为(　D　) A．1∶3　B．1∶4　C．2∶5　 D．3∶8 【解析】 ∵∠C＝∠C，∠CAF＝∠B， ∴△CAF∽△CBA，∴＝， ∴CA2＝CF·CB， ∴CA2＝5×16＝80， ∵AC＞0，∴AC＝4，∴＝＝， ∴S△ACF∶S△ACB＝5∶16， 同法可证△BDE∽△BCA， ∵BD＝AC，∴＝，∴S△BDE∶S△ABC＝5∶16， ∴S四边形ADEF：S△ABC＝(