第4单元 第17讲 等腰三角形与等边三角形-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

第17讲　等腰三角形与等边三角形 (见学生用书P61) 温馨提示：请课前或课堂“10分钟”先自主完成“中考基本功”单本内容． 例1 (1)2022·宿迁若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是(　D　) A．8 cm　　　　　　 B．13 cm C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm (2)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为54°，则该等腰三角形底角的度数为(　D　) A．72° B．72°或36° C．36° D．72°或18° 【举一反三】 在等腰三角形中，如果没有明确的底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰．同样，某一角可以是底角，也可以是顶角，必须分类讨论． 变式1 (1)2022·云南已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是__40°或100°__． (2)2022·苏州定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为__6__． 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为(　B　) A．3 B．3 C．2 D．4 【解析】 连结BE，∵AE＝EC， ∴∠ECA＝∠EAC， ∴∠DEC＝2∠EAC. ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝DC＝3， ∴EB＝EC， ∴EB＝EA， ∴∠EBA＝∠EAB， ∴∠DEB＝2∠EAB， ∴∠BEC＝2∠BAC＝90°， ∴CE＝BC＝3. 变式2 (1)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC边的中点，CE平分∠ACB，交AB于点E，交AD于点F，则∠AFC的度数为(　C　) A．130°　　B．120° C．110°　　D．100° 变式2(1)题图 　　变式2(2)题图 (2)如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝(　C　) A． B． C．a－b D．b－a 例3 2022·温州如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. (1)求证：∠EBD＝∠EDB. (2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． 解：(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD. ∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB. (2)CD＝ED.理由如下： ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE. 由(1)得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE， ∴CD＝ED. 【举一反三】判定等腰三角形的一般方法是“两边相等”和“等角对等边”这两种，这就涉及证明线段相等或角相等的问题，结合三角形全等可以解决． 变式3 如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是(　D　) A.①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 例4 如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有(　D　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】 要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论： 如图1，当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个． 图1 　图2 　图3 如图2，当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有交点，此时有1个． 如图3，当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b有交点，此时有2个.1＋1＋2＝4(个). 【举一反三】作图时需要考虑不同的边作为腰，注意不能遗漏． 变式4 在下图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是(　D　) A.5 B．6 C．7 D．8 【解析】 如图，分情况讨论： ①AB为等腰△ABP的底边时，符合条件的P点有4个； ②AB为等腰△ABP其中的一条腰时，符合条件的P点有4个． 例5 如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE. (1)若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数． (2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由． 解：(1)∵∠ABC＝80°，BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝(180°－80°)＝50°. ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB