第3单元 第14讲 二次函数的应用-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

第14讲　二次函数的应用 (见学生用书P43) 温馨提示：请课前或课堂“10分钟”先自主完成“中考基本功”单本内容． 例1 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－(x－5)2＋6. (1)求雕塑高OA. (2)求落水点C，D之间的距离． (3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10 m，EF＝1.8 m，EF⊥OD.问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 解：(1)当x＝0时，y＝－(0－5)2＋6＝， ∴点A的坐标为， ∴雕塑高 m. (2)当y＝0时，－(x－5)2＋6＝0， 解得x1＝－1(舍去)，x2＝11， ∴点D的坐标为(11，0)， ∴OD＝11 m. ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11 m， ∴CD＝OC＋OD＝22 m. (3)当x＝10时，y＝－(10－5)2＋6＝， ∴点在抛物线y＝－(x－5)2＋6上． 又∵≈1.83＞1.8， ∴顶部F不会碰到水柱． 【举一反三】 利用二次函数解决抛物线型问题，一般先根据实际问题的具体情况建立平面直角坐标系，选择合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后把求出的结果转化为实际问题的答案． 变式1 2022·河南小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5，3.2)， 设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.2，将(0，0.7)代入，得 0．7＝25a＋3.2， 解得a＝－， ∴y＝－(x－5)2＋3.2＝－x2＋x＋， 故抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋. (2)当y＝1.6时，－x2＋x＋＝1.6， 解得x＝1或x＝9， ∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2(m)或9－3＝6(m)， 故当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2 m或6 m． 例2 2022·宁波为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 解：(1)∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴y＝4－0.5(x－2)＝－0.5x＋5， 故y关于x的函数表达式为y＝－0.5x＋5(2≤x≤8，且x为整数). (2)设每平方米小番茄产量为W千克， 根据题意得，W＝x(－0.5x＋5)＝－0.5x2＋5x＝－0.5(x－5)2＋12.5， ∵－0.5＜0， ∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5， ∴每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 变式2 2022·辽宁某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 每千克售价x(元) …… 20 22 24 …… 日销售量y(千克) …… 66 60 54 …… 　　(1)求y与x之间的函数关系式． (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)， 由表中数据得 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－3x＋126. (2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元， 由题意得w＝(x－18)y＝(x－18)(－3x＋126)＝－3x2＋180x－2 268＝－3(x－30)2＋432. ∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元， ∴18≤x≤28， ∵－3＜0， ∴当x＜30时，w随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大，最大值为420， ∴当每千克山野菜的售价定为28