第3单元 第13讲 二次函数的图象与性质(二)-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

第13讲　二次函数的图象与性质(二) (见学生用书P35) 温馨提示：请课前或课堂“10分钟”先自主完成“中考基本功”单本内容． 例1 2022·青岛已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4). (1)求m的值． (2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 解：(1)将(2，4)代入y＝x2＋mx＋m2－3， 得4＝4＋2m＋m2－3， 解得m1＝1，m2＝－3. 又∵m＞0，∴m＝1. (2)∵m＝1，∴y＝x2＋x－2， ∵Δ＝b2－4ac＝12＋8＝9＞0， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点． 变式1 在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2＋3x＋3，y2＝x2＋4x＋4，y3＝x2＋5x＋5.设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则(　C　) A．M1＝0，M2＝0，M3＝0 B．M1＝2，M2＝2，M3＝2 C．M1＝0，M2＝1，M3＝2 D．M1＝0，M2＝2，M3＝1 变式2 2022·绍兴已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是(　D　) A．0，4　　　　　　B．1，5 C．1，－5 D．－1，5 例2 下图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是__x＜－1或x＞5__． 例2题图 　　　　变式3题图 变式3 如图，直线y＝kx＋b与抛物线y＝－x2＋2x＋3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式－x2＋2x＋3＞kx＋b的解集为__0＜x＜3__． 例3 2022·毕节在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如右，有下列5个结论： ①abc＞0；②2a－b＝0；③9a＋3b＋c＞0；④b2＞4ac；⑤a＋c＜b. 其中正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 二次函数的图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时，对称轴在y轴右侧．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于点(0，c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2－4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点． 变式4 2022·广安已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴正半轴的交点为A(3，0)，其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0; ②2c－3b＜0; ③5a＋b＋2c＝0；④若B，C，D是抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3.其中正确结论的个数为(　B　) A.1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴1＝－，∴b＝－2a， ∴b＜0. ∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确． ∵抛物线y＝ax2－2ax＋c经过(3，0)， ∴9a－6a＋c＝0，∴c＝－3a， ∴2c－3b＝－6a＋6a＝0，故②错误， 5a＋b＋2c＝5a－2a－6a＝－3a＜0，故③错误， 观察图象可知，y1＜y2＜y3，故④正确， 例4 2022·杭州设二次函数y1＝2x2＋bx＋c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y1的表达式及其图象的对称轴． (2)若函数y1的表达式可以写成y1＝2(x－h)2－2(h是常数)的形式，求b＋c的最小值． (3)设一次函数y2＝x－m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1＝2(x－m)(x－m－2)的形式，当函数y＝y1－y2的图象经过点(x0，0)时，求x0－m的值． 解：(1)∵二次函数y1＝2x2＋bx＋c过点A(1，0)，B(2，0)， ∴y1＝2(x－1)(x－2)，即y1＝2x2－6x＋4. ∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝. (2)把y1＝2(x－h)2－2化成一般式得， y1＝2x2－4hx＋2h2－2. ∴b＝－4h，c＝2h2－2. ∴b＋c＝2h2－4h－2＝2(h－1)2－4. 把b＋c的值看作是h的二次函数，则该二次函数的图象开口向上，有最小值， ∴当h＝1时，b＋c的最小值是－4. (3)由题意得，y＝y1－y2 ＝2(x－m)(x－m－2)－(x－m) ＝(x－m)[2(x－m)－5]. ∵函数y的图象经过点 (x0，0)， ∴(x0－m)[2(x0－m)－5]＝0.