第3单元 第12讲 二次函数的图象与性质(一)-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

第12讲　二次函数的图象与性质(一) (见学生用书P33) 温馨提示：请课前或课堂“10分钟”先自主完成“中考基本功”单本内容． 例1 (1)求经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式． (2)二次函数在x＝时，有最小值－，且函数的图象经过点(0，2)，求此函数的解析式． 解：(1)由题意设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)， 把C(0，3)代入得－8a＝3，即a＝－， 则抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋x＋3. (2)∵二次函数在x＝时，有最小值－， ∴抛物线的顶点是， ∴设此函数的解析式为y＝a－(a>0)， ∵函数的图象经过点(0，2)， ∴2＝a－，解得a＝1， ∴此函数的解析式为y＝－，即y＝x2－3x＋2. 【举一反三】 根据不同条件，选择不同方法求二次函数的解析式．(1)若已知图象上的三个点，则设所求二次函数的解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，列方程组，求出a，b，c的值．(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程、函数最值，则设所求二次函数的解析式为顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数．(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，再将另一条件代入，求出a的值． 变式1 已知二次函数图象的顶点是(－1，2)，且过点. (1)求二次函数的表达式． (2)判断该二次函数的图象是否经过点(－2，4)，并解释你的判断． 解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2＋2， 把点代入，得a(0＋1)2＋2＝， ∴a＝－， ∴二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋. (2)二次函数的图象不经过点(－2，4)，理由如下： ∵当x＝－2时，y＝－(－2＋1)2＋2＝≠4， ∴图象不经过点(－2，4). 变式2 已知直线x＝1是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴．抛物线的顶点在x轴上，且过(0，1)，求抛物线的解析式． 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－＝1， ∴b＝－2a， ∵抛物线的顶点在x轴上，∴顶点坐标为(1，0)， ∴a＋b＋c＝0. ∵抛物线过(0，1)，∴c＝1，解得a＝1，b＝－2， ∴抛物线的函数解析式为y＝x2－2x＋1. 例2 已知二次函数y＝－x2＋6x－5. (1)求二次函数图象的顶点坐标． (2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 解：(1)∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4， ∴顶点坐标为(3，4). (2)∵a＝－1＜0，∴抛物线开口向下． ∵顶点坐标为(3，4)，∴当x＝3时，y最大值＝4， ∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝1时，y最小值＝0， ∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小， ∴当x＝4时，y最小值＝3. ∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0. 例3 在平面直角坐标系中，函数y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的图象经过点(1，4). (1)求a的值． (2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (3)请直接写出当y随x的增大而增大时自变量x的取值范围． 解：(1)∵函数y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的图象经过点(1，4)， ∴4＝－4a，∴a＝－1. (2)∵y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴该函数图象的顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1. (3)x≤1. 变式3 (1)二次函数y＝x2－ax＋b的图象如右，对称轴为直线x＝1，下列结论中不正确的是(　C　) A．a＝2 B．顶点坐标为(1，－4) C．当－1＜x＜3时，y＞0 D．当x＞3时，y 随着x的增大而增大 (2)2022·陕西已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是(　D　) A．y1＜y2＜y3　　　B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 (3)已知二次函数y＝x2－2x＋m2－3(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－3，则m的值为(　D　) A．1 B．0或－1 C．0或1 D．－1或1 例4 2022·黔东南州若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如右，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝－在同一直角坐标系内的大致图象为(　C　) A.　 　　B.　　　　C.　　　　D. 变式4 2022·湖北二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如右，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(　D　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四