第2单元 第6讲 一元二次方程及其应用-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

第6讲　一元二次方程及其应用 (见学生用书P13) 温馨提示：请课前或课堂“10分钟”先自主完成“中考基本功”单本内容． 例1 解下列方程： (1)x2－5x＋6＝0. (2)x(x＋5)＝24. (3)2022·无锡x2－2x－5＝0. (4)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2. 解：(1)由原方程，得(x－2)(x－3)＝0， 解得x1＝2，x2＝3. (2)由原方程，得(x＋8)(x－3)＝0， 解得x1＝－8，x2＝3. (3)x2－2x－5＝0，x2－2x＝5， x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6， ∴x－1＝±， 解得x1＝1＋，x2＝1－. (4)化简方程，得y－3y2＋3－9y＝1＋2y2， ∴5y2＋8y－2＝0，y＝＝， ∴y1＝，y2＝. 【举一反三】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为开平方法→因式分解法→公式法． 变式1 以下是婷婷解方程x(x－3)＝2(x－3)的解答过程： 解：方程两边同除以(x－3)，得x＝2， ∴原方程的解为x＝2. 试问婷婷的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 解：婷婷的解答过程有错误． 正确的解答过程如下： 移项得x(x－3)－2(x－3)＝0， (x－3)(x－2)＝0， x－3＝0或x－2＝0， 解得x1＝3，x2＝2. 例2 已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0). (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 解：(1)证明：∵m≠0，Δ＝[－(m＋2)]2－4m×2＝m2－4m＋4＝(m－2)2，而(m－2)2≥0，即Δ≥0， ∴该方程总有两个实数根． (2)∵原方程可化为(x－1)(mx－2)＝0， ∴x－1＝0或mx－2＝0，∴x1＝1，x2＝. 当m＝1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2. 【举一反三】 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 变式2 (1)2022·温州若关于x的方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值是(　C　) A．36　　　　　　B．－36 C．9 D．－9 (2)若关于x的一元二次方程(k－2)x2＋4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围是__k≤4且k≠2__． 例3 2022·凉山州阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝____．x1x2＝__－__． (2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m，n，求＋的值． (3)思维拓展：已知实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求－的值． 解：(2)∵一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m，n， ∴m＋n＝，mn＝－， ∴＋＝＝ ＝＝－. (3)∵实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0， ∴s与t可看作是方程2x2－3x－1＝0的两个实数根， ∴s＋t＝，st＝－， ∴(s－t)2＝(s＋t)2－4st＝－4×＝， ∴s－t＝±， ∴－＝＝＝＝±. 变式3 2022·宜宾已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为(　A　) A．0 B．－10 C．3 D．10 例4 2022·泰州如图，在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽应为x m. 根据等量关系列方程得(50－2x)(38－2x)＝1 260， 解得x＝4或x＝40(不合题意，舍去)， 所以x＝4. 答：道路的宽应为4 m． 变式4 (1)2022·黑龙江2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？(　B　) A．8 B．10 C．7 D．9 (2)某超市将进价为40元/件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每