第1单元 中考核心微专题1 整式中整体思想的运用-【精彩三年】2023中考数学精品课堂教师用书配套word

　整式中整体思想的运用 (见学生用书P9) [整体思想] 整体思想是研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．应用于代数式求值、因式分解、分式及根式的化简求值． 1．如果2x－y＝1，那么2y－4x＋2 024＝__2__022__． 2．2022·邵阳已知x2－3x＋1＝0，则3x2－9x＋5＝__2__． 3．已知x2n＝2，则(x3n)2－(x2)2n的值为__4__． 4. 已知实数a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝9，求a2＋b2－ab的值． 解：∵(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a＋b)2＝1，(a－b)2＝9， ∴ab＝＝＝－2， ∴a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3×(－2)＝1＋6＝7. 5．已知a＋b＝8，ab＝1，请求出a2＋b2与a－b的值． 解：∵a＋b＝8，ab＝1， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝64， ∴a2＋b2＝64－2×1＝62. ∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝64－4＝60， ∴a－b＝±2. 故a2＋b2的值是62，a－b的值是±2. 1．若2a－3b＝－1，则代数式4a2－6ab＋3b的值为(　B　) A．－1　　　　　　　　B．1 C．2 D．3 2．已知a－b＝1，ab＝2，则多项式a3b－2a2b2＋ab3的值为(　A　) A．2 B．－2 C．5 D．6 3．若x2＋xy＋y＝14，y2＋xy＋x＝28，则x＋y的值为(　D　) A．6 B．7 C．－7 D．6或－7 【解析】 ∵x2＋xy＋y＝14，① y2＋xy＋x＝28，② ①＋②，得x2＋2xy＋y2＋x＋y＝42， ∴(x＋y)2＋(x＋y)－42＝0， ∴(x＋y－6)(x＋y＋7)＝0， ∴x＋y＝6或x＋y＝－7. 4．分解因式：(1)(2a－b)2－2a＋b＝__(2a－b)(2a－b－1)__． (2)4(x＋2y)2－25(x－y)2＝__3(7x－y)(3y－x)__． (3)(a－b)(a－b－2)＋1＝__(a－b－1)2__． 5．若a＋b＝1，则a2－b2＋2b－2＝__－1__． 6. 已知x－2＝，则代数式(x＋1)2－6(x＋1)＋9的值为__2__． 7．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．利用公式解决下列问题：若a－b＝，b－c＝，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ac的值． 解：∵a－b＝，b－c＝， ∴a－c＝. ∵a2＋b2＋c2＝1， ∴ab＋bc＋ac＝a2＋b2＋c2－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝1－＝－. 1. 若ab≠0，且2b＝3a，则的值是____． 2．已知－＝1，则的值等于__0__． 3．若x＋＝且0＜x＜1，则x2－＝__－__． 【解析】 ∵0＜x＜1，∴x＜，∴x－＜0. ∵x＋＝，∴＝， 即x2＋2＋＝，∴x2－2＋＝－4， ∴＝，∴x－＝－， ∴x2－＝＝×＝－. 4．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3，则a2＋b2＝__5__，＋＝____. 5．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 汈汈汈汈汈 已知实数a，b同时满足a2＋2a＝b＋2，b2＋2b＝a＋2，求代数式＋的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： (1)当a＝b时，a的值是__－2或1__． (2)当a≠b时，代数式＋的值是__7__． 【解析】 (1)当a＝b时，a2＋2a＝a＋2， a2＋a－2＝0，(a＋2)(a－1)＝0， 解得a＝－2或1. (2)方程组 ①＋②，得a2＋b2＋2a＋2b＝b＋a＋4， 整理，得a2＋b2＋a＋b＝4，③ ①－②，得a2－b2＋2a－2b＝b－a， 整理，得a2－b2＋3a－3b＝0， (a＋b)(a－b)＋3(a－b)＝0，(a－b)(a＋b＋3)＝0. 又∵a≠b， ∴a＋b＋3＝0， 即a＋b＝－3，④ 将④代入③，得a2＋b2－3＝4，即a2＋b2＝7. 又∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝9， ∴ab＝1， ∴＋＝＝7. 6．已知x2＋3x＋1＝0，求x＋，x2＋，x4＋的值． 解：∵x2＋3x＋1＝0，∴x＋3＋＝0， ∴x＋＝－3，∴＝9， ∴x2＋2＋＝9，∴x2＋＝7， ∴＝49，∴x4＋2＋＝49， ∴x4＋＝47. 1．已知x＝＋，那么x2－2x的值是__4__. 2．已知a＋b＝－5，ab＝1，则＋的值为__5__. 【解析】 ∵a＋b＝－5，ab＝1， ∴a＜