专题2.7 函数模型及其应用-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

2.7 函数模型及其应用 思维导图 知识点总结 知识点一　一次函数模型 形如 的函数为一次函数模型，其中 . 知识点二　二次函数模型 1．一般式： ． 2．顶点式： ． 3．两点式： ． 知识点三　幂函数模型 1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)． 2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定． 知识点四　几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点五　应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3．求模——求解数学模型，得出数学模型； 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 典型例题分析 考向一 一次函数模型的应用实例 例1　某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 反思感悟　一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线． (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 考向二 二次函数模型的应用实例 例2　牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值) (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值； (3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围． 反思感悟　利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符． 考向三 幂函数与分段函数模型 例3　(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元． (2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费． ①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？ ②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？ ③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？ 反思感悟　(1)处理幂函数模型的步骤 ①阅读理解、认真审题． ②用数学符号表示相关量，列出函数解析式． ③根据幂函数的性质推导运算，求得结果． ④转化成具体问题，给出解答． (2)应用分段函数时的三个注意点 ①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏． ②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． ③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 考向四 指数型函数模型 例4　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005) (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． 反思感悟　在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示