1-5 一元二次方程、不等式 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

1-5 一元二次方程、不等式 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 3.会解一元二次不等式． 1.5 一元二次方程、不等式 1 一、主干知识 2 考点1：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 3 考点2：分式不等式与整式不等式 3 考点3：简单的绝对值不等式 3 二、分类题型 5 题型一 一元二次不等式的求解 5 命题点1　不含参的不等式 5 命题点2　含参不等式 6 题型二 一元二次不等式恒成立问题 7 命题点1　在R上的恒成立问题 7 命题点2　在给定区间上的恒成立问题 8 命题点3　给定参数范围的恒成立问题 9 三、课堂总结：知识图谱 10 四、分层训练：课堂知识巩固 11 一、主干知识 考点1：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 没有实数根 的解集 R 的解集 考点2：分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 考点3：简单的绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 二、分类题型 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1　不含参的不等式 【例题精析1】 已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【解答】解：解得或，故或， 解不等式得，故， 所以或.故选：C 【例题精析2】 （2023·北京海淀·统考一模）不等式的解集为_________． 【解答】根据分式不等式解法可知等价于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集为或.故答案为：或 【例题精析3】 在区间上任取一个实数．使得的概率为______________． 【解答】由可得，即满足条件的，由几何概型可得，.故答案为： 【对点精练1】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解答】由得 ，解得， 由得，即，解得，所以．故选:D 【对点精练2】 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解答】集合, 所以.故选：D 命题点2　含参不等式 【例题精析4】 若集合，集合，满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答】由得：，解得：，即； 由得：，，，，解得：.故选：D. 【例题精析5】 已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________. 【解答】本题考查充分条件与必要条件的判断.q：，即. p：，即. 因为p是q的必要不充分条件，所以且等号不同时成立， 解得.故答案为： 【例题精析6】 若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为____. 【解答】由已知ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝， 将不等式ax2＋bx－a＞0两边同除以a，得x2＋x－＜0，即x2＋x－＜0， 即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜，故所求解集为.故答案为： 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 【对点精练3】 （北京·高考真题）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________． 【解答】不等式的解集为，则，解得； 不等式的解集不是空集，即，故，解得或.故答案为：； 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1　在R上的恒成立问题 【例题精析7】 不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A．a≥1 B．a＞1 C． D．a＞2 【解答】不等式（）恒成立，显然不成立， 故应满足 ，解得，所以不等式（）恒成立的充要条件是，A、C选项不能推出，B选项是它的充要条件，可以推出，但反之不成立，故是的充分不必要条件.故选：D 【对点精练4】 无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答】解：因为无论取何值时，不等式恒成立， 所以，，解得，所以，的取值范围是，故选：D 【对点精练5】 （多选）已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【解答】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得，又，，故选：CD． 命题点2　在给定区间上的恒成立问题 【例题精析8】 设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ）