1-4 基本不等式 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

1-4 基本不等式 1.探索并了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 1-4 基本不等式 1 一、主干知识 1 二、分类题型 2 题型一 利用基本不等式求最值 3 命题点1　配凑法 3 命题点2　常数代换法 4 命题点3　消元法 5 题型二 基本不等式的综合应用 7 命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 7 命题点2　求参数值或取值范围 11 题型三 利用基本不等式求解实际问题 15 三、课堂总结：知识图谱 18 四、分层训练：课堂知识巩固 19 一、主干知识 考点1：基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 考点2：几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3) (a，b∈R)． (4) (a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 考点3：利用基本不等式求最值问题 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 二、分类题型 题型一 利用基本不等式求最值 命题点1　配凑法 【例题精析1】 已知，求函数的最小值 ； 【解答】∵，∴，∴函数， 当且仅当，即时取等号，∴函数的最小值为5． 【例题精析2】 当时，求的最大值 ． 【解答】当时，则，可得， 当且仅当，即时取等号，∴的最大值为8． 【例题精析3】 已知，则函数的最小值是______． 【解答】因为， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是，故答案为:. 【对点精练1】 函数的最小值是　　 A． B．3 C．6 D．12 【解答】解：． 因为，所以，（当且仅当，即时，等号成立）． 故最小值为， 故选：． 【对点精练2】 对于正实数，代数式的最小值为 　5　． 【解答】解：因为， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：5． 【对点精练3】 已知，则的最小值为 　4　． 【解答】解：，，当且仅当即时取等号， 故答案为：4． 【对点精练4】 设实数满足，函数的最小值为 　　． 【解答】解：因为，所以， 所以函数， 当且仅当，即时取“”， 所以函数的最小值为． 故答案为：． 命题点2　常数代换法 【例题精析4】 （2023·陕西·统考二模）设，若，则的最小值是___________. 【解答】∵，若，∴， ∴， 当且仅当，又，即，时等号成立， 故答案为：． 【例题精析5】 已知，，且，则的最小值为 __． 【解答】解：因为，，且， 所以， 则 ， 当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值． 故答案为：． 【对点精练1】 已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】因为，且为正实数， 所以，当且仅当即时等号成立.所以.故选：B. 命题点3　消元法 【例题精析6】 已知，且，则的最小值为___________. 【解答】因为，解得：， 则 当且仅当，时，“=”成立 故答案为：. 【例题精析7】 已知a，，且，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【解答】解：， 则，当且仅当时，“=”成立， 又a，，所以，当且仅当时，“=”成立， 所以的最大值为.故选：C (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法． 【对点精练1】 已知，且，则的最小值是__________. 【解答】， 又 当且仅当即取得. 故答案为： 【对点精练2】 已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【解答】因为， 所以 ，当且仅当时等号成立，因为， 所以，即，所以， 即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，故选：B. 【对点精练3】 （2022·山东济南·统考模拟）若正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【解答】因为,所以， 所以，即，解得． 当且仅当时，等号成立， 所以当时，的最大值为. 故选：C. 题型二 基本不等式的综合应用 命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 【例题精析8】 《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，