1-3 等式性质与不等式性质 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

1-3 等式性质与不等式性质 1.掌握等式性质. 2.会比较两个数的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用． 1.3 等式性质与不等式性质 1 一、主干知识 2 考点1：两个实数比较大小的方法 3 考点2：等式的基本性质 3 考点2：不等式的基本性质 3 二、分类题型 5 题型一 比较两个数(式)的大小 5 题型二 不等式的性质 6 题型三 不等式性质的综合应用 7 三、课堂总结：知识图谱 8 四、分层训练：课堂知识巩固 9 一、主干知识 考点1：两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (a，b∈R) (2)作商法 (a∈R，b>0) 考点2：等式的基本性质 性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 考点3：不等式的基本性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a；性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 【常用结论归纳】 1、不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法； （5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法； 2、常用不等式 1．若ab>0，且a>b⇔<.2．若a>b>0，m>0⇒<；若b>a>0，m>0⇒>. 二、分类题型 题型一 比较两个数(式)的大小 【例题精析1】 若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q 【解答】p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q. 【例题精析2】 (2022·菏泽模拟)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b 【解答】a5＝5a，即＝，b4＝4b，即＝，c3＝3c，即＝， 设f(x)＝，则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，f′(x)＝(x>0)， 当x>e时，f′(x)<0，f(x)＝单调递减，当0<x<e时， f′(x)>0，f(x)＝单调递增，因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)， f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)<f(4)<f(3)，所以f(a)<f(b)<f(c)，a<b<c. 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法． 【对点精练1】 已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． 【解答】方法一：M－N＝－＝＝ ＝>0.∴M>N. 方法二：令f(x)＝＝＝＋， 显然f(x)是R上的减函数，∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N. 【对点精练2】 已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定 【解答】∵0<a<，∴1＋a>0,1＋b>0,1－ab>0.∴M－N＝＋＝>0，∴M>N. 【对点精练3】 eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 【解答】＝＝，又0<<1,0<π－e<1，∴<1，即<1，即eπ·πe<ee·ππ. 题型二 不等式的性质 【例题精析3】 设实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解答】若，则，故A错误； 若时，，此时，故B错误； 当时，，此时，故C错误； 因为，所以，所以，又， 当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确.故选：D. 【例题精析4】 3．（多选）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若则. B．若则. C．若，则 D．若，则 【解答】若，则，又，则，A选项正确； 若，满足，但，不成立，B选项错误； 若，，满足，但，不成立，C选项错误； ，则，又，∴，即，D选项正确.故选：AD 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个