1-2 常用逻辑用语 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

1-2 常见逻辑用语 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 1.2 常见逻辑用语 1 一、主干知识 1 考点1：充分条件、必要条件与充要条件的概念 2 考点2：全称量词和存在量词 2 考点3：全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 2 二、分类题型 4 题型一 充分、必要条件的判定 4 题型二 充分、必要条件的应用 6 题型三 全称量词与存在量词 8 命题点1　含量词命题的否定 8 命题点2　含量词命题的真假判定 8 命题点3　含量词命题的应用 9 三、课堂总结：知识图谱 10 四、分层训练：课堂知识巩固 11 一、主干知识 考点1：充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 考点2：全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 考点3：全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M， 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M， 【常用结论归纳】 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则AB； ③若p是q的必要不充分条件，则BA； ④若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 二、分类题型 题型一 充分、必要条件的判定 【例题精析1】 （辽宁·高考真题）设是两个命题， ，则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】命题即或， 即或， 由于或或， 故p是q的充分而不必要条件，故选：A. 【例题精析2】 （2023·福建·统考一模）设在复平面内对应的点为，则“点在第四象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【解答】由题知，在复平面内对应的点为， 因为点在第四象限，即， ，即，或，所以“点在第四象限”是“”的充分不必要条件，故选：A 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． 【对点精练1】 （2023·安徽宿州·统考一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】由可得，即充分性成立； 当时，可得；所以必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 【对点精练2】 “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】因为圆内切于圆， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 题型二 充分、必要条件的应用 【例题精析3】 已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________. 【解答】本题考查充分条件与必要条件的判断. q：，即.p：， 即.因为p是q的必要不充分条件，所以且等号不同时成立， 解得.故答案为： 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 【对点精练3】 （2023·全国·高三专题练习）直线与函数的图象有两个公共点的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【解答】由题意知直线定点，函数的图象是以为圆心，1为半径的半圆， 如图所示．易求，的斜率分别为0，， 由图知，当l介于与之间（含）时，l与函数的图象有两个公共点，即．故选:C． 【对点精练4】 （2022·全国·高三专题练习）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （    ）