专题10 导数及其应用-【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用）

【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用） 专题10 导数及其应用（重要考点） 目录一览 一、典例分析 二、考点梳理 三、专项突破训练 （1）导数及其应用（★★★★） 四、答案速览 一、典例分析 【典例1】1．已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（    ） A． B．的一个周期是4 C．是偶函数 D． 【典例2】2．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方 C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点 【典例详解】 【典例1】【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得从而可判断B项，根据周期性与奇偶性可判断A项，根据奇偶性与导数运算可得，从而可判断C项，在中，令代入计算可判断D项. 【详解】因为函数是奇函数，， 所以， 所以，即：，故的周期为4， 所以，故的一个周期为4，故B项正确； ，故A项错误； 因为函数是奇函数， 所以， 所以，即：， 所以为偶函数，故C项正确； 因为， 所以， 令，可得，解得：，故D项错误. 故选：BC. 【典例2】【分析】根据，求得的符号，即可判断B；利用导数求出函数的单调区间，即可判断C；再结合零点的存在性定理即可判断A；再根据极值点的定义即可判断D. 【详解】函数的定义域为， ， 令，则， 所以函数在上递减， 又， 所以存在上，使得，即函数有唯一零点，且， 当时，，即，函数递增，故C正确； 当时，，即，函数递减， 所以为函数的极大值点，无极小值点， 即有且仅有一个极值点，故D错误； 所以， 又，所以函数在上存在一个零点，故A错误； 当时，，所以， 即当时，的图象位于轴下方，故B正确. 故选：BC. 二、考点梳理 1.不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 2.含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 3．函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 4．函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 5.函数的零点 利用导数求解函数零点问题或者方程解的问题是高考命题的重点也是难点，其中函数的零点、方程的根、曲线的交点三个问题可以相互转化.导数中的函数零点