专题16 双曲线、抛物线-【三轮冲刺】2023年新高考数学考点查缺补漏与热点预测（新高考专用）

专题16双曲线、抛物线 一、思维方法 二、查缺补漏 考点一：双曲线的标准方程 考点二：双曲线的定义及应用 考点三：求双曲线的渐近线 考点四：求双曲线的离心率 考点五：双曲线几何性质的综合应用 考点六：抛物线的定义及标准方程 考点七：抛物线的几何性质 考点八：到焦点与定点距离之和(差)的最值 考点九：到点与准线的距离之和的最值问题 考点十：动弦中点到坐标轴距离的最短问题 考点十一：直线与抛物线的综合问题 三、真题训练 2021年真题 2022年真题 四、热点预测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 【思维方法】 1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解． 2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． 3.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 4．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 5.双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是由－＝0，即得两渐近线方程±＝0. 6.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． 7.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系． 8.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解． (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决． 9.应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)抛物线焦点到准线的距离为p. 10.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． 11.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此． 12.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题． 13.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值． 14.解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． 15.解决动弦中点到坐标轴距离最短问题 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解． 16.过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值． 17.抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值． 18.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． 19.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 20.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法． 【查缺补漏】 【考点一】双曲线的标准方程 【典例1】已知双曲线的渐近线为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1或－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 【解析】设双曲线方程为－＝1(m≠0)， 又2a＝4，∴a2＝4， 当m>0，2m＝4，m＝2； 当m<0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线方程为－＝1或－＝1. 故选D. 【典例2】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点F(c，0)到渐近线的距离为c，且点(2，)在双曲线上，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】双曲线－＝1的焦点F(c，0)到渐近线bx±ay＝0的距离为＝c，解得b＝c，所以b2＝c2， 又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2， 因为点(2，)在双曲