专题15 椭圆及其性质、直线与椭圆-【三轮冲刺】2023年新高考数学考点查缺补漏与热点预测（新高考专用）

专题15椭圆及其性质、直线与椭圆 一、思维方法 二、查缺补漏 考点一：椭圆的定义及其应用 考点二：椭圆的标准方程 考点三：椭圆的离心率 考点四：与椭圆几何性质有关的最值范围问题 考点五：直线与椭圆的位置关系 考点六：中点弦问题 考点七：弦长问题 考点八：直线与椭圆的综合问题 三、真题训练 2021年真题 2022年真题 四、热点预测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 【思维方法】 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． 2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． 3.根据条件求椭圆方程的主要方法有： (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． (3)椭圆系方程 ①与＋＝1共焦点的椭圆系为＋＝1(k<b2)． ②与＋＝1有共同的离心率的椭圆系为＋＝λ或＋＝λ(λ>0)． 4.求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解． (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． (3)利用公式e＝求解． 5.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路 (1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围． 6.研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 7.弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 8.弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： ①|AB|＝|x1－x2|； ②|AB|＝|y1－y2|(k≠0)； ③|AB|＝； ④|AB|＝. 9．注意两种特殊情况： (1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直； (2)直线过圆锥曲线的焦点． 10.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法． 11．直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝ty＋m，避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋b的形式，若平行于坐标轴的直线都包含，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论． 【查缺补漏】 【考点一】椭圆的定义及其应用 【典例1】如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【解析】由条件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆． 故选A. 【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为__________________________________________． (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________________________________． 【解析】(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3， 又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1. 若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)． ∵椭圆过点P(3,0)．∴＋＝1，即b＝3. 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． ∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程． 则 ①②两式联立，解得 ∴所求椭圆方程为＋＝1. 【典例3】已知F1，F2是椭