专题13 利用空间向量解决立体几何问题-【三轮冲刺】2023年新高考数学考点查缺补漏与热点预测（新高考专用）

专题13利用空间向量解决立体几何问题 一、思维方法 二、查缺补漏 考点一：空间向量的运算及共线、共面定理 考点二：空间向量的数量积及应用 考点三：利用空间向量证明平行、垂直 考点四：用向量求异面直线所成的角 考点五：用空间向量求线面角 考点六：求两个平面的夹角或某一三角函数值 考点七：与二面角有关的综合问题 考点八：与空间向量有关的探索性问题 三、真题训练 2021年真题 2022年真题 四、热点预测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 【思维方法】 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求. (2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则，就近表示所需向量. 2.(1)对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线. (2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法. ①＝x＋y. ②对空间任一点O，＝＋x＋y. 3.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 4.利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角的平面角. 5.可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 6.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素). 7.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理，如在(2)中忽略BE⊄平面PAD而致误. 8.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解. 9.两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角. 10.向量法求直线与平面所成角主要方法是： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 11.用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 12.本题把综合法与向量法融为一体，考查逻辑推理与数学运算等数学核心素养. 13.题目求解的关键有两点：(1)证明PO⊥平面ABC，从而为建立空间直角坐标系，利用向量法求解提供了保障；(2)由点M在BC上及平面MPA与平面CPA夹角为30°，确定具体的位置，从而求出点M的坐标. 14.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 15.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 【查缺补漏】 【考点一】空间向量的运算及共线、共面定理 【典例1】(多选题)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A.＝b－c B.＝b＋c－a C.＝b－c－a D.＝a＋b＋c 【解析】对于A，利用向量的平行四边形法则，＝＋＝b＋c，A错误； 对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得＝－＝－＝－＝＋－＝b＋c－a，B正确； 对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以＝＝＝b＋c－a，C错误； 对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D正确，故选BD. 【典例2】(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B.若，共线，则AB∥CD C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D.若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 【解析】由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确； 由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，故C正确； 若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，当λ＋μ＝1