专题17 圆锥曲线定点、定值、范围、探索问题-【三轮冲刺】2023年新高考数学考点查缺补漏与热点预测（新高考专用）

专题17圆锥曲线定点、定值、范围、探索问题 一、思维方法 二、查缺补漏 考点一：直线过定点问题 考点二：其他曲线过定点问题 考点三：长度或距离为定值 考点四：斜率或其表达式为定值 考点五：几何图形面积为定值 考点六：最值问题 考点七：范围问题 考点八：探索性问题 考点九：证明问题 三、真题训练 2021年真题 2022年真题 四、热点预测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 【思维方法】 1.圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 2.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时． 3.以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参． 4.圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现． 5.探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可． 6.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 7.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 8.探索性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论． 9.圆锥曲线中的证明问题常见的有： (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等． 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明． 【查缺补漏】 【考点一】直线过定点问题 【典例1】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点． (1)求抛物线C的方程； (2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBP·kBQ＝－2，求证：直线PQ过定点． 【解析】(1)解　若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1，2)，可得a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x. 若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A(1，2)，可得m＝，所以抛物线方程为x2＝y. 综上所述，抛物线C的方程是y2＝4x或x2＝y. (2)证明　因为点B(1，－2)在抛物线C上，所以由(1)可得抛物线C的方程是y2＝4x. 易知直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＋2＝k(x－1)， 将直线BP的方程代入y2＝4x，消去y，得 k2x2－(2k2＋4k＋4)x＋(k＋2)2＝0. 设P(x1，y1)，则x1＝，所以P. 用－替换点P坐标中的k，可得Q((k－1)2，2－2k)，从而直线PQ的斜率为 ＝＝， 故直线PQ的方程是 y－2＋2k＝·[x－(k－1)2]． 在上述方程中，令x＝3，解得y＝2， 所以直线PQ恒过定点(3，2)． 【典例2】已知点P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问