专题2.6 幂函数-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

2.6 幂函数 思维导图 知识点总结 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) 值域 R R 奇偶性 奇 单调性 增 在[0，＋∞) ， 在(－∞，0] 上 在(0，＋∞)上 ， 在(－∞，0)上 知识点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ． 2．当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ． 3．当 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 典型例题分析 考向一 幂函数的概念 例1　(1)下列函数： ①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知是幂函数，求m，n的值． 反思感悟　判断函数为幂函数的方法 (1)自变量x前的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)指数为常数． 考向二 幂函数的图象及应用 例2　(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间． 反思感悟　(1)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 考向三 比较幂值的大小 例3　比较下列各组数的大小． (1)0.5与0.5； (2)－1与－1； (3)与. 反思感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量． 考向四 幂函数性质的应用 例4　已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围． 通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养． 基础题型训练 一、单选题 1．已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D．和 3．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（    ） A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2 4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．下列比较大小中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．关于幂函数是常数），结论正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过原点 B．幂函数图象都经过点 C．幂函数图象有可能关于轴对称 D．幂函数图象不可能经过第四象限 8．已知函数的图象经过点，则（    ） A．的图象经过点（2，4） B．的图象关于原点对称 C．在上单调递减 D．在内的值域为 三、填空题 9．已知幂函数在上单调递增，则m＝______． 10．已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 11．若函数为奇函数，则的取值范围为__________． 12．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为_________． 四、解答题 13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较： （1），；     （2），. 14．已知函数为幂函数，且为奇函数. （1）求的值； （2）求函数在的值域. 15．已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足