专题2.5 对数与对数函数-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

2.5 对数与对数函数 思维导图 知识点总结 知识点一　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝ ； (2)loga＝ ； (3)logaMn＝ (n∈R)． 知识点二　换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 知识点三　对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ． 知识点　对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈ ； x∈[1，＋∞)时，y∈ x∈(0,1)时，y∈ ； x∈[1，＋∞)时，y∈ 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 典型例题分析 考向一 对数运算性质的应用 例1　计算下列各式： (1)log5；(2)log2(32×42)； (3)log535－2log5＋log57－log5. 反思感悟　对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则 对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 考向二 对数换底公式的应用 例2　(1)计算：(log43＋log83)log32＝________. (2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示) 反思感悟　利用换底公式化简与求值的思路 考向三 对数函数的概念及应用 例3(1)下列给出的函数： ①y＝log5x＋1； ②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③ ④y＝log3；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)； ⑥其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ (2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f ＝________. 反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法 对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)对数式系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 考向四 对数函数的图象问题 例4　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是下图中的(　　) 反思感悟　现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点． 考向五 反函数 例5　函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域． 反思感悟　互为反函数的常用结论 (1)同底的指数函数、对数函数互为反函数． (2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． 考向六 解对数不等式 例6　解下列关于x的不等式： (1) (2)loga(2x－5)>loga(x－1)． 反思感悟　对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 基础题型训练 一、单选题 1．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知，函数与的图像只可能