第4篇 回扣9 计数原理、概率、随机变量及分布列(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

回扣九　计数原理、概率、随机变量及分布列 对应学生用书学案(文P112)(理P114) 知识回扣 1．排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用__A__表示． (3)排列数公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝__n·(n－1)·(n－2)·…·2·1__＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝__1__． 2．组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用__C__表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝__1__． (4)组合数的性质：①C＝__C__；②C＝C＋C． 3．二项式定理 (a＋b)n＝__Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn__(n∈N*)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．式中的__Can－kbk__叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝__Can－kbk__． 4．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即__C＝C__． (2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为C，当k＜时，二项式系数是递增的；当k＞时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，那么其展开式中间一项T＋1的二项式系数最大． 当n是奇数时，那么其展开式中间两项T＋1和T＋1的二项式系数相等且最大． (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n， 即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝__2n__． 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__． 5．概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式 P(A)＝． (2)互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)＝__P(A)__＋__P(B)__． (3)对立事件的概率计算公式 P()＝1－__P(A)__． (4)条件概率公式 P(B|A)＝． 6．离散型随机变量 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝__1__． (2)均值公式 E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xnpn__． (3)均值的性质 ①E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝__np__； ③若X服从两点分布，则E(X)＝__p__． (4)方差公式 D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为． (5)方差的性质 ①D(aX＋b)＝__a2D(X)__； ②若X～B(n，p)，则D(X)＝__np(1－p)__； ③若X服从两点分布，则D(X)＝__p(1－p)__． (6)独立事件同时发生的概率计算公式 P(AB)＝__P(A)P(B)__． (7)独立重复试验的概率计算公式 P(X＝k)＝__Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n__． 7．正态分布 如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 满足正态分布的三个基本概率的值是 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈__0.682 7__； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈__0.954 5__； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈__0.997 3__． 易错提醒 1．关于两个计数原理应用的注意事项 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 2．排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件． 3．二项式定理应用时的注意事项 (1)注意区别“项的系数”与“二项式