第4篇 回扣7 立体几何与空间向量(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

回扣七　立体几何与空间向量 对应学生用书学案(文P108)(理P111) 知识回扣 1．柱、锥、台、球体的表面积和体积 侧面展开图 表面积 体积 直棱柱 长方形 S＝2S底＋S侧 V＝S底·h 圆柱 长方形 S＝2πr2＋2πrl V＝πr2·l 棱锥 由若干个三角形构成 S＝S底＋S侧 V＝S底·h 圆锥 扇形 S＝πr2＋πrl V＝πr2·h 球 S＝4πr2 V＝πr3 2．平行、垂直关系的转化示意图 (1) (2)两个结论 ①⇒a__∥__b；②⇒b__⊥__α． 3．用空间向量证明平行、垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有： (1)线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0． (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2． (3)面面平行 α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3． (4)面面垂直 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0． 4．用空间向量求空间角 (1)直线l1，l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈a，b〉|(其中a，b分别是直线l1，l2的方向向量)． (2)直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈a，n〉|(其中a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)二面角α－l－β的平面角为θ或π－θ，cos θ＝|cos〈n1，n2〉|． 易错提醒 1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α． 2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数． 3．处理有关球外接于多面体的问题，求解的关键是抓住“接”的特点，寻找球的半径，经常会利用“优美的直角三角形”寻找几何体外接球的半径所满足的方程(组)．遇到三条棱两两垂直时，常通过构造长方体，直接利用长方体的体对角线长为其外接球的直径，可加快求解速度． 4．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件． 5．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系． 6．几种角的范围 两条异面直线所成的角：0°＜α≤90°； 直线与平面所成的角：0°≤α≤90°； 二面角：0°≤α≤180° 7．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错． 学科网（北京）股份有限公司 $