第4篇 回扣4 复数、平面向量(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

回扣四　复数、平面向量 对应学生用书学案(文P105)(理P108) 知识回扣 1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ①z是实数⇔__b＝0__； ②z是虚数⇔__b≠0__； ③z是纯虚数⇔__a＝0且b≠0__． (2)共轭复数 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi． (3)复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝． (4)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R)． 特别地，a＋bi＝0⇔__a＝0且b＝0__(a，b∈R)． (5)复数的运算法则 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝__(a±c)＋(b±d)i__； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__； 除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．(其中a，b，c，d∈R) 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i． (2)＝i，＝－i． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)． 3．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 4．向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b．作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b__同向__；当θ＝180°时，a与b__反向__．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b． 5．平面向量的数量积 (1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ． (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__． 6．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔__x1y2－x2y1＝0__． (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔__x1x2＋y1y2＝0__． 7．利用数量积求长度 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ||＝． 8．利用数量积求夹角 设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝＝． 9．三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则： (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝． (2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0． (3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·． (4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0． 易错提醒 1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧． 2．复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点为Z(a，b)，不是Z(a，bi)；当且仅当O为坐标原点时，向量与点Z对应的复数相同． 3．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项． 4．涉及有关向量的夹角问题，要注意两向量夹角的范围是[0，π]，不是(0，π)，其中θ＝0表示两向量同向共线，θ＝π表示两向量反向共线． 5．混淆向量共线与垂直的坐标表示．向量共线与向量垂直的坐标表示是两个极易混淆的运算，其运算口诀可表达为“平行交叉减，垂直顺序加”，即对于非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0． (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． 6．切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式． 学科网（北京）股份有限公司 $