第4篇 回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

回扣三　三角函数、三角恒等变换与解三角形 对应学生用书学案(文P103)(理P106) 知识回扣 1．终边相同角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．几种特殊位置的角的集合 (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}． (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}． (3)终边在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}． (4)终边在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}． (5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}． 3.1弧度的角 在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示． 4．角度制与弧度制的换算 (1)1°＝rad． (2)1 rad＝°． 5．扇形的弧长和面积 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝． 相关公式：(1)l＝__|α|r__． (2)S＝lr＝|α|r2． 6．利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y． (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x． (3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 7．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商的关系：＝tan α． 8．三种三角函数的图象和性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 图象 定义域 __R__ R 值域 [－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性) __R__ 零点 {x|x＝kπ，k∈Z} {x|x＝kπ， k∈Z} 最小正周期 2π __2π__ __π__ 奇偶性 __奇__函数 __偶__函数 __奇__函数 单 调 性 增区间 ， (k∈Z) [－π＋2kπ， 2kπ](k∈Z) (k∈Z) 减区间 (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z) 对 称 性 对称轴 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的图象 (1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得． (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换 y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)． 10．准确记忆六组诱导公式 对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限． 11．三角恒等变换 (1)cos(α＋β)＝__cos αcos β－sin αsin β__， cos(α－β)＝__cos αcos β＋sin αsin β__， sin(α＋β)＝__sin αcos β＋cos αsin β__， sin(α－β)＝__sin αcos β－cos αsin β__， tan(α＋β)＝， tan(α－β)＝． (2)二倍角公式： sin 2α＝__2sin αcos α__， cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝2cos2α－1＝__1－2sin2α__， tan 2α＝． (3)降幂公式：sin2α＝，cos2α＝． (4)辅助角公式： asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝． 12．正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C． sin A＝，sin B＝，sin C＝． a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． 13．余弦定理及其推论、变形 a2＝__b2＋c2－2bccos A__， b2＝__a2＋c2－2accos B__， c2＝__a2＋b2－2abcos C__． 推论：cos A＝， cos B＝， cos C＝． 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C． 14．面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C． 易错提醒 1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函