第4篇 回扣2 函数与导数(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

回扣二　函数与导数 对应学生用书学案(文P101)(理P104) 知识回扣 1．函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围． (2)常见函数的值域 ①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R； ②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a＞0时，值域为，当a＜0时，值域为； ③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝__－f(x)__成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝__f(x)__成立，则f(x)为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若__f(x＋T)＝f(x)(T≠0)__，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，__2a__是它的一个周期； ②若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)为周期函数，__2a__是它的一个周期； ③若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，__2a__是它的一个周期． (2)函数图象的对称性 ①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)， 则函数f(x)的图象关于直线x＝对称． ②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)， 则函数f(x)的图象关于点对称． 4．函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． ②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性． 5．指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过(0,1)点； y＝logax(a＞0，且a≠1)恒过(1,0)点． (2)单调性：当a＞1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增； 当0＜a＜1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减． 6．函数与方程 (1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)＝0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f(x)＝0； ②零点存在性定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)＜0，判断函数在区间(a，b)内存在零点； ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解． 7．导数的几何意义 (1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上． 8．利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数f(x)的定义域； ②求导函数f′(x)； ③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)＜0的解集确定函数f(x)的单调减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立； ②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集； ③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集． 9．利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程f′(x)＝0； ③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极__大__值点； 若左负右正，则x0为极__小__值点； 若不变号，则x0不是极值点． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 易错提醒 1．解决函数问题时要注意函数的定义