第2篇 专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

第2讲　三角恒等变换与解三角形 考情分析 1．三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为工具，将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题． 2．单独考查可出现在选择题、填空题中，综合考查以解答题为主，中等难度． 自主先热身　真题定乾坤 　　　　　　　　ZI ZHU XIAN RE SHEN ZHEN TI DING QIAN KUN 对应学生用书学案(文P21)(理P22) 真题热身 (理) 1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　A　) A． B． C． D． 【解析】　由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos2 α－1)－8cos α＝5， 即3cos2 α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α＞0， 所以sin α＝＝＝． 2．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　A　) A． B． C． D． 【解析】　∵tan 2α＝， ∴tan 2α＝＝＝， ∵α∈，∴cos α≠0， ∴＝，解得sin α＝， ∴cos α＝＝， ∴tan α＝＝．故选A． 3．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B等于(　A　) A． B． C． D． 【解析】　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3， 所以cos B＝＝＝． 4．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　B　) A． B． C． D． 【解析】　因为sin θ＋sin ＝sin＋sin ＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin ＝2sincos ＝sin＝1． 所以sin＝． 5．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝__2__． 【解析】　由题意，S△ABC＝acsin B＝ac＝， 所以ac＝4，a2＋c2＝12， 所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8， 解得b＝2(负值舍去)． 故答案为2． 6．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝__－1__． 【解析】　设CD＝2BD＝2m＞0， 则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠ADB＝m2＋4＋2m， 在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC＝4m2＋4－4m， 所以＝ ＝ ＝4－ ≥4－＝4－2， 当且仅当m＋1＝即m＝－1时，等号成立， 所以当取最小值时，m＝－1． 故答案为－1． 7．(2022·新高考全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 【解析】　(1)∵＝， ∴＝＝， 化为：cos Acos B＝sin Asin B＋sin B， ∴cos(B＋A)＝sin B， ∴－cos C＝sin B，C＝， ∴sin B＝， ∵0＜B＜，∴B＝． (2)由(1)可得：－cos C＝sin B＞0， ∴cos C＜0，C∈， ∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C－． sin A＝sin(B＋C)＝sin＝－cos 2C， ＝＝ ＝ ＝＝＋4sin2C－5≥2－5＝4－5， 当且仅当sin C＝时取等号． ∴的最小值为4－5． (文) 1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　D　) A．1 B． C． D．3 【解析】　设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 结合余弦定理：b2＝a2＋c2－2accos B 可得：19＝a2＋4－2×a×2×cos 120°， 即：a2＋2a－15＝0， 解得：a＝3(a＝－5舍去)， 故BC＝3．故选D． 2．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　A　) A． B． C． D． 【解析】　∵tan 2α＝， ∴tan 2α＝＝＝， ∵α∈，∴cos α≠0， ∴＝，解得sin α＝， ∴cos α＝＝， ∴tan α＝＝．故选A． 3．(2021·全国乙卷)cos2 －cos2 ＝(　D　) A． B． C． D． 【解析】　由题意cos2 －cos2 ＝cos2 －cos2＝cos2 －sin2 ＝cos ＝，故选D． 4．(2022·新高考全国Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　C　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(