第2篇 专题五 第3讲 圆锥曲线的综合问题(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

第3讲　圆锥曲线的综合问题 考情分析 1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一． 2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查． 自主先热身　真题定乾坤 　　　　　　　　ZI ZHU XIAN RE SHEN ZHEN TI DING QIAN KUN 对应学生用书学案(文P57)(理P58) 真题热身 (理) 1．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4． (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 【解析】　(1)点F到圆M上的点的距离的最小值为|FM|－1＝＋4－1＝4，解得p＝2； (2)由(1)知，抛物线的方程为x2＝4y， 即y＝x2，则y′＝x， 设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则易得lPA：y＝x－，lPB：y＝x－，从而得到P， 设lAB：y＝kx＋b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2－4kx－4b＝0， ∴Δ＝16k2＋16b＞0，即k2＋b＞0，且x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， ∴P(2k，－b)， ∵|AB|＝·＝·，dp→AB＝， ∴S△PAB＝|AB|d＝4(k2＋b)①， 又点P(2k，－b)在圆M：x2＋(y＋4)2＝1上， 故k2＝，代入①得，S△PAB＝4， 而yp＝－b∈[－5，－3]，∴当b＝5时，(S△PAB)max＝20． 2．(2022·全国新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a＞1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 【解析】　(1)因为点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a＞1)上， 所以－＝1，解得a2＝2， 即双曲线C：－y2＝1， 易知直线l的斜率存在， 设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立可得，(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝． Δ＝16m2k2－4(2m2＋2)(2k2－1)＞0⇒m2＋1－2k2＞0． 所以由kAP＋kAQ＝0可得，＋＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以2k×＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0， 化简得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0， 即(k＋1)(2k－1＋m)＝0， 所以k＝－1或m＝1－2k， 当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1过点A(2,1)，与题意不符，舍去， 故k＝－1． (2)不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)， 因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π， 因为tan∠PAQ＝2，所以tan(β－α)＝2， 即tan 2α＝－2， 即tan2 α－tan α－＝0，解得tan α＝， 于是，直线PA：y＝(x－2)＋1， 直线AQ：y＝－(x－2)＋1， 联立可得， x2＋2(1－2)x＋10－4＝0， 因为方程有一个根为2， 所以xP＝，yP＝， 同理可得，xQ＝，yQ＝． 所以PQ：x＋y－＝0，|PQ|＝， 点A到直线PQ的距离d＝＝， 故△PAQ的面积为××＝． 3．(2021·全国新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F(，0)，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x＞0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝． 【解析】　(1)由题意，椭圆半焦距c＝且e＝＝，所以a＝， 又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1； (2)由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x＞0)， 当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不合题意； 当直线MN的斜率存在时， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－)即kx－y－k＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x＞0)相切可得＝1，解得k＝±1， 联立可得4x2－6x＋3＝0， 所以x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以|MN|＝·＝， 所以必要性成立； 充分性：设直线MN：y＝kx＋m，(km＜0)即kx－y＋m＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x＞0)相切可得＝1，所以m2＝k2＋1， 联立可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，