第2篇 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

第2讲　椭圆、双曲线、抛物线 考情分析 高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题． 自主先热身　真题定乾坤 　　　　　　　　ZI ZHU XIAN RE SHEN ZHEN TI DING QIAN KUN 对应学生用书学案(文P54)(理P55) 真题热身 (理) 1．(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　C　) A．13 B．12 C．9 D．6 【解析】　由题，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6， 所以|MF1|·|MF2|≤2＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)．故选C． 2．(2021·全国新高考Ⅱ卷)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　B　) A．1 B．2 C．2 D．4 【解析】　抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝＝，解得：p＝2(p＝－6舍去)，故选B． 3．(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　A　) A． B． C． D． 【解析】　A(－a,0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)， 则kAP＝，kAQ＝， 故kAP·kAQ＝·＝＝， 又＋＝1，则y＝， 所以＝，即＝， 所以椭圆C的离心率e＝＝＝．故选A． 4．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝____． 【解析】　双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0， 不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r＝1， 依题意圆心(0,2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1， 解得m＝或m＝－(舍去)． 故答案为． 5．(2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__y＝±x__． 【解析】　因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2， 所以e＝＝＝2，所以＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x． 故答案为y＝±x． 6．(2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是__13__． 【解析】　设椭圆的焦距为2c，F1，F2分别为左、右焦点， ∵椭圆的离心率e＝，∴a＝2c，b＝c， ∴＝， ∴椭圆方程设为＋＝1，直线AF2的斜率kAF2＝－， ∵直线DE⊥AF2，∴kDE·kAF2＝－1， ∴kDE＝， 设直线DE的方程为y＝(x＋c)， D(x1，y1)，E(x2，y2)， 联立消去y整理得： 13x2＋8cx－32c2＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴|DE|＝· ＝×＝， 又∵|DE|＝6，∴＝6，∴c＝， 连接AF1，则|AF1|＝a＝2c＝，|F1F2|＝2c＝， ∴|AF1|＝|F1F2|， ∴直线DE为线段AF2的垂直平分线，连接EF2，DF2，则四边形ADF2E为轴对称图形， ∴△ADE的周长＝|DE|＋|AE|＋|AD|＝|DE|＋|EF2|＋|DF2|＝4a＝8c＝13． 7．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为__8__． 【解析】　方法一：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|， 所以四边形PF1QF2为矩形， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝8，所以m2＋2mn＋n2＝64， 因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，即m2＋n2＝48，所以mn＝8， 所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝8． 方法二：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|， 所以四边形PF1QF2为矩形， S＝2S△PF1F2＝2b2tan θ＝2×4×tan ＝8． 8．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为__4__． 【解析】　根据题意，双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0， 则有＝，解可得m＝3， 则双曲线的方程为－y2＝1，则c＝＝2， 其焦距2c＝4．故答案为