第2篇 专题五 第1讲 直线与圆(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

专题五　解析几何 第1讲　直线与圆 考情分析 1．和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度． 2．和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度． 自主先热身　真题定乾坤 　　　　　　　　ZI ZHU XIAN RE SHEN ZHEN TI DING QIAN KUN 对应学生用书学案(文P51)(理P52) 真题热身 1．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　A　) A． B．－ C．1 D．－1 【解析】　由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝．故选A． 2．(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为__(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋2＝__． 【解析】　依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0， 即(x－2)2＋(y－3)2＝13； 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0， 即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0， 即2＋2＝； 若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0， 即2＋(y－1)2＝； 故答案为(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋2＝． 3．(2022·全国新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程__y＝－x＋或y＝x－或x＝－1__． 【解析】　圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径为1， 圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3,4)，半径为4， 两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图， 当切线为l时，因为kOO1＝， 所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)， O到l的距离d＝＝1，解得t＝， 所以l的方程为y＝－x＋， 当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0， 由题意解得 y＝x－， 当切线为n时，易知切线方程为x＝－1， 故答案为y＝－x＋或y＝x－或x＝－1． 4．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为__(x－1)2＋(y＋1)2＝5__． 【解析】　∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a,1－2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴＝＝R， a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1， ∴M(1，－1)，R＝， ⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5． 故答案为(x－1)2＋(y＋1)2＝5． 5．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8． (1)求l的方程； (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 【解析】　(1)由题意得F(1,0)， l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0． Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝． 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝． 由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1． 因此l的方程为y＝x－1． (2)由(1)得，AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5． 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144． 6．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由． 【解析】　(1)因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px(p＞0)， 令x＝1，则y＝±， 根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，故P(1，)，Q(1，－)， 因为OP⊥OQ，故1＋×(－)＝0⇒p＝， 抛物线C的方程为：y2＝