第2篇 专题三 第3讲 立体几何与空间向量(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

第3讲　立体几何与空间向量 考情分析 空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度． 自主先热身　真题定乾坤 　　　　　　　　ZI ZHU XIAN RE SHEN ZHEN TI DING QIAN KUN 对应学生用书学案(文P37)(理P38) 真题热身 (理) 1．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　D　) A． B． C． D． 【解析】　方法一：∵AD1∥BC1， ∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)， 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 则PB1＝PC1＝＝， BC1＝＝2，BP＝＝， ∴cos∠PBC1＝＝＝， ∴∠PBC1＝，∴直线PB与AD1所成的角为．故选D． 方法二：由C1P⊥平面BDD1B1， 所以C1P⊥PB，又C1P＝C1A1＝C1B， 则sin∠C1BP＝，所以∠C1BP＝． 2．(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM． (1)求BC； (2)求二面角A－PM－B的正弦值． 【解析】　(1)连接BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD， 则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD， 所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD， 所以∠ADB＋∠DAM＝90°， 又∠DAM＋∠MAB＝90°， 则有∠ADB＝∠MAB，所以Rt△DAB∽Rt△ABM， 则＝，所以BC2＝1， 解得BC＝； (2)因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则A(，0,0)，B(，1,0)，M，P(0,0,1)， 所以＝(－，0,1)，＝， ＝，＝(－，－1,1)， 设平面AMP的法向量为n＝(x，y，z)， 则有即 令x＝，则y＝1，z＝2，故n＝(，1,2)， 设平面BMP的法向量为m＝(p，q，r)， 则有即 令q＝1，则r＝1，故m＝(0,1,1)， 所以|cosn，m|＝＝＝， 设二面角A－PM－B的平面角为α， 则sin α＝＝＝＝， 所以二面角A－PM－B的正弦值为． 3．(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝． (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 【解析】　(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F， 因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2， 所以四边形ABCD为等腰梯形， 所以AE＝BF＝， 故DE＝，BD＝＝， 所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD， 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D， 所以BD⊥平面PAD， 又因PA⊂平面PAD， 所以BD⊥PA； (2)如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD＝， 则A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0,0，)， 则＝(－1,0，)，＝(0，－，)，＝(0,0，)， 设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)， 则有，可取n＝(，1,1)， 则cosn，＝＝， 所以PD与平面PAB所成角的正弦值为． 4．(2022·全国Ⅰ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2． (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值． 【解析】　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h， 则VA－A1BC＝S△A1BC·h＝h＝VA1－ABC＝S△ABC·A1A＝VABC－A1B1C1＝， 解得h＝， 所以点A到平面A1BC的距离为； (2)取A1B的中点E，连接AE，如图， 因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B， 又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B， 且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC， 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC， 又AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交， 所以BC⊥平面ABB1A1， 所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由(1)得AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2， 所以BC＝2， 则A(0,2,0)，A1(0,2,2)，B(0,0,0)，C(2,0,0)， 所以A1C的中点D(1,1,1)， 则＝(1,1,