第2篇 专题六 第3讲 导数的简单应用(文)(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

第3讲　导数的简单应用(文) 考情分析 1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问． 2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏下，有时综合在解答题中． 自主先热身　真题定乾坤 　　　　　ZI ZHU XIAN RE SHEN ZHEN TI DING QIAN KUN 对应学生用书学案(文P68) 真题热身 1．(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　C　) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0 【解析】　当x＝π时，y＝2sin π＋cos π＝－1， 即点(π，－1)在曲线y＝2sin x＋cos x上． ∵y′＝2cos x－sin x，∴y′＝2cos π－sin π＝－2， 则y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)， 即2x＋y－2π＋1＝0．故选C． 2．(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　D　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 【解析】　y′＝aex＋ln x＋1， k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，∴a＝e－1， 将(1,1)代入y＝2x＋b得2＋b＝1，b＝－1，故选D． 3．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　D　) A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2 【解析】　令f(x)＝0，解得x＝a或x＝b， 即x＝a及x＝b是f(x)的两个零点， 当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示， 则0＜a＜b； 当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示， 则b＜a＜0； 综上，ab＞a2．故选D． 4．(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__y＝2x__． 【解析】　设切线的切点坐标为(x0，y0)， y＝ln x＋x＋1，y′＝＋1， y′|x＝x0＝＋1＝2，x0＝1，y0＝2， 所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x． 故答案为y＝2x． 5．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝．若f′(1)＝，则a＝__1__． 【解析】　由函数的解析式可得： f′(x)＝＝， 则f′(1)＝＝， 据此可得＝， 整理可得：a2－2a＋1＝0，解得：a＝1． 故答案为1． 6．(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为__3x－y＝0__． 【解析】　y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex， 所以，k＝y′|x＝0＝3， 所以，曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为y＝3x，即3x－y＝0． 7．(2021·全国新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为__1__． 【解析】　函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)． 当0＜x≤时，f(x)＝|2x－1|－2ln x＝－2x＋1－2ln x， 此时函数f(x)在上为减函数， 所以f(x)≥f＝－2×＋1－2ln ＝2ln 2； 当x＞时，f(x)＝|2x－1|－2ln x＝2x－1－2ln x， 则f′(x)＝2－＝， 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， ∴当x＝1时f(x)取得最小值为f(1)＝2×1－1－2ln 1＝1． ∵2ln 2＝ln 4＞ln e＝1， ∴函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为1． 故答案为1． 感悟高考 1．高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问． 2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度较大．有时出现在解答题第一问． 核心拔头筹　考点巧突破 HE XIN BA TOU CHOU KAO DIAN QIAO TU PO 对应学生用书学案(文P68) 考点一　导数的计算和几何意义 1．导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(