第2篇 专题二 第2讲 数列求和及其综合应用(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

第2讲　数列求和及其综合应用 考情分析 数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上． 自主先热身　真题定乾坤 　　　　　　　　ZI ZHU XIAN RE SHEN ZHEN TI DING QIAN KUN 对应学生用书学案(文P27)(理P28) 真题热身 (理) 1．(2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　C　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　在等式am＋n＝aman中，令m＝1， 可得an＋1＝ana1＝2an，∴＝2， 所以，数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则an＝2×2n－1＝2n， ∴ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4． 故选C． 2．(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝__7__． 【解析】　an＋2＋(－1)nan＝3n－1， 当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1； 当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1． 设数列{an}的前n项和为Sn， S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16 ＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16) ＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41) ＝8a1＋392＋92 ＝8a1＋484＝540． ∴a1＝7．故答案为7． 3．(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2． (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 【解析】　(1)由已知＋＝2得Sn＝，且bn≠0，bn≠， 取n＝1，由S1＝b1得b1＝， 由于bn为数列{Sn}的前n项积， 所以·…＝bn， 所以·…＝bn＋1， 所以＝， 由于bn＋1≠0， 所以＝，即bn＋1－bn＝，其中n∈N*， 所以数列{bn}是以b1＝为首项，以d＝为公差的等差数列； (2)由(1)可得，数列{bn}是以b1＝为首项，以d＝为公差的等差数列， ∴bn＝＋(n－1)×＝1＋， Sn＝＝， 当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，显然对于n＝1不成立， ∴an＝ 4．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1． (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 【解析】　(1)证明：因为＋n＝2an＋1， 即2Sn＋n2＝2nan＋n①， 当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②， ①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)， 即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1， 即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)， 所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*， 所以{an}是以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以a＝a4·a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)·(a1＋8)，解得a1＝－12， 所以an＝n－13， 所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝2－， 所以，当n＝12或n＝13时(Sn)min＝－78． 5．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋＜2． 【解析】　(1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴＝1， 又∵是公差为的等差数列， ∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝， ∴当n≥2时，Sn－1＝， ∴an＝Sn－Sn－1＝－， 整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1， 即＝， ∴an＝a1×××…×× ＝1×××…×× ＝， 显然对于n＝1也成立， ∴{an}的通项公式an＝； (2)证明：＝＝2， ∴＋＋…＋ ＝2 ＝2＜2 (文) 1．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__2__． 【解析】　转化条件为2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，即可得解． 由2S3＝3S2＋6可得 2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6， 化简得2a3＝a1＋a2＋6， 即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2． 故答案为2． 2．(2020·全国Ⅱ卷)