第2篇 专题二 第1讲 等差数列与等比数列(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

专题二　数列 第1讲　等差数列与等比数列 考情分析 1．等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现． 2．数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 自主先热身　真题定乾坤 　　　　　　　　ZI ZHU XIAN RE SHEN ZHEN TI DING QIAN KUN 对应学生用书学案(文P24)(理P25) 真题热身 (理) 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　D　) A．14 B．12 C．6 D．3 【解析】　设等比数列{an}的公比为q，q≠0， 若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1， 则解得 所以a6＝a1q5＝3． 故选D． 2．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　B　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 【解析】　方法一：设等比数列{an}的公比为q， 则q＝＝＝2． 由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1． 所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1， 所以＝＝2－21－n． 方法二：设等比数列{an}的公比为q， 则 得＝q＝2． 将q＝2代入①，解得a3＝4． 所以a1＝＝1，下同方法一． 3．(2022·北京卷)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1,2，…)．给出下列四个结论： ①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列； ③{an}为递减数列； ④{an}中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__①③④__． 【解析】　由题意可知，∀n∈N*，an＞0， 当n＝1时，a＝9，可得a1＝3； 当n≥2时，由Sn＝可得Sn－1＝， 两式作差可得an＝－， 所以，＝－an，则－a2＝3， 整理可得a＋3a2－9＝0， 因为a2＞0，解得a2＝＜3，①对； 假设数列{an}为等比数列，设其公比为q， 则a＝a1a3，即2＝， 所以，S＝S1S3， 可得a(1＋q)2＝a(1＋q＋q2)，解得q＝0，不合乎题意， 故数列{an}不是等比数列，②错； 当n≥2时，an＝－＝＞0， 可得an＜an－1，所以，数列{an}为递减数列，③对； 假设对任意的n∈N*，an≥， 则S100 000≥100 000×＝1 000， 所以，a100 000＝≤＜， 与假设矛盾，假设不成立，④对． 故答案为①③④． 4．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　B　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】　若a1＝－1，q＝1，则Sn＝na1＝－n， 则{Sn}是递减数列，不满足充分性； ∵Sn＝(1－qn)，则Sn＋1＝(1－qn＋1)， ∴Sn＋1－Sn＝(qn－qn＋1)＝a1qn， 若{Sn}是递增数列，∴Sn＋1－Sn＝a1qn＞0对∀n∈N恒成立， 则a1＞0，q＞0，∴满足必要性， 故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B． (文) 1．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　A　) A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】　∵Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝4，S4＝6， 由等比数列的性质，可知S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， ∴4,2，S6－6成等比数列， ∴22＝4(S6－6)，解得S6＝7．故选A． 2．(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　D　) A．12 B．24 C．30 D．32 【解析】　设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1， a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2， 因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32．故选D． 3．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　B　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 【解析】　设等比数列的公比为q， 由a5－a3＝12，a6－a4＝24， 可得：⇒ 所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝＝2n－1， 因此＝＝2－21－n．故选B． 4．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　D　) A．14 B