第1篇 第3讲 思想方法(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

第3讲　思想方法 对应学生用书学案(文P8)(理P9) 高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等． 一、函数与方程思想 思想方法解读 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决． 思想方法应用 函数与方程思想的应用主要体现在： 1．在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质． 2．函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题． 3．在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果． 典例1　(1)(2022·晋城二模)已知函数f(x)＝为奇函数，则b＝(　D　) A．－2 B．0 C．1 D．2 【解析】　当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－f(x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x， 可得x＞0时，f(x)＝－x2＋2x， 又x＞0时，f(x)＝－x2＋bx， 所以b＝2．故选D． (2)(2022·十堰模拟)函数f(x)＝16x＋＋的最小值为(　A　) A．4 B．2 C．3 D．4 【解析】　f(x)＝16x＋＋＝16x＋＋＋≥4＝4， 当且仅当x＝0时等号成立， 所以f(x)的最小值为4．故选A． (3)(2022·道里区校级四模)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(m,1)，函数f(x)＝a·b的图象关于直线x＝对称，则实数m的值为(　C　) A．1－ B．1＋ C．2－ D．2＋ 【解析】　由向量a＝(sin x，cos x)，b＝(m,1)， 则f(x)＝a·b＝msin x＋cos x， 由函数f(x)＝a·b的图象关于直线x＝对称， 则f(0)＝f，即1＝＋， 则m＝2－，故选C． (4)(2022·四川模拟)过点M(4,0)的直线l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)两渐近线分别交于不同两点A，B，O为原点．若该双曲线的离心率为2，则·的取值范围为__(－∞，－32]∪(0，＋∞)__． 【解析】　因为双曲线的离心率为2， 所以e＝＝2，所以＝4， 即＝4，所以＝3， 设直线l的方程为x＝ty＋4，其中t≠±，即t2≠． 分别将x＝ty＋4代入y＝x与y＝－x得A，B的坐标分别为，． 所以·＝＝＝． 因为t2≠，所以·的取值范围为(－∞，－32]∪(0，＋∞)， 故答案为(－∞，－32]∪(0，＋∞)． (5)(2022·兰州模拟)函数f(x)＝有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是__[－4，－2)__． 【解析】　设g(x)＝ 因为函数f(x)＝ 有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3， 所以g(x)的图象与直线y＝t交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3， 作出g(x)的图象如图所示， 由图可知1≤t＜4，且x1，x2是方程－x2－4x－t＝0的两个实根， 所以x1＋x2＝－4， 因为x3满足2x3－t＝0，即x3＝log2 t， 因为1≤t＜4，所以log2 1≤log2 t＜log2 4， 所以0≤x3＜2， 所以－4≤x1＋x2＋x3＜－2， 即x1＋x2＋x3的取值范围是[－4，－2)． 故答案为[－4，－2)． 典例2　如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，AP＝AB＝2，∠AEF＝θ，当θ变化时，求三棱锥P－AEF体积的最大值． 【解析】　因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC， 又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC， 而AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF． 又因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， 所以AF⊥平面PBC， 而EF⊂平面PBC，所以AF⊥EF． 所以EF是AE在平面PBC内的射影． 因为AE⊥PB